沉音列

沉音列（subharmonic series，英文别称undertone series），在音乐中，指音程关系与泛音列成倒影的一系列音。乐器发出声音的物理过程会自然地产生泛音列，而沉音列必须由特殊方法产生。泛音列是将频率加倍得来，而沉音列则需算出频率的约数。^[1] Subharmonic一词最纯粹的含义，仅指次调和级数（1，1/2，1/3，1/4等）的项。当指频率关系时，f表示某个参照的最高频率（f，f/2，f/3，f/4等）。由此，沉音列的一种定义就是“基频（驱动音）的整约数” ^[2]声学乐器的复合音色无法产生沉音列的谐波，但是，它可以由软件和电子手段人工产生。沉音列与泛音列相反，泛音列“…可以在任何非线性系统中产生”，而“沉音列这种非线性现象的产生”只能存在于一些“十分受限的条件下”。 ^[2]

产生沉音列的方法

生成沉音列，有两种物理方法：一种是管乐器的超吹，另一种是分割测弦器的弦。在一根弦的中点，及分别在1/3处、1/4、1/5处轻轻制音，该弦可以得到泛音列，其中包括一个大三和弦。而若以相反的比例为弦长加倍，则产生沉音列。在管乐器上类似，如果若干音孔之间是等距的，则每多按住一个音孔，就产生下一个沉音。此外，如音叉这样的振子也能产生沉音列。令振子轻轻带动一张纸振动，则“振子与纸接触会天然形成某种反复模式，可被听到” ^[3]。音叉产生正弦音，所以正常情况下以基频振动（例如440Hz），但它会“暂时地”每隔一次振动发生一次接触（220Hz），或每三次振动发生一次接触（147Hz），等等，这就产生了能听到的“沉音频谱”（例如，1:1得到A4（440Hz）、1:2得A3（220Hz）、1:3得D3（147Hz）、1:4得A2（110Hz）、1:5得F2（88Hz）等）。José Sotorrio声称，可以用正弦波发生器连接扬声器与一个弹性表面接触，或在弦乐器上“用特殊技巧操控弓子”，来使这些“沉音频谱”延续发声；但很难发出“下八度或下十二度”以后的沉音。琴弦呈Y字排列的吉他——[曲他]（tritare）也可以产生沉音。一些爵士吉他手开发出交叉两根弦的特殊技巧，可以得到沉音。扬声器放大信号时可以得到沉音。^[4]

与泛音列对比

沉音列的频率是基频的1/n倍，其中n是正整数。例如，如果基频是440Hz，那么沉音就有220 Hz (1/2)、约146.6 Hz (1/3)和110 Hz (1/4)。故而沉音列是泛音列的倒影。

沉音列中的音

泛音列中，若以C为基音，那么前5个泛音是：C（高一八度）、G（比前一音再高纯五度）、C（比前一音高纯四度）、E（比前一音高大三度）、G（比前一音高小三度）。沉音列中也出现同样的格局。我们同样以C作为基频，前5个沉音是：C（低一八度）、F（比前一音再低纯五度）、C（比前一音低纯四度）、?A（比前一音低大三度）、F（比前一音低小三度）。

沉音					十二平均律音程	音名	音差（音分）	音频
1	2	4	8	16	同度（八度）	C	0	播放^ⓘ
				17	大七度	B	−5	播放^ⓘ
			9	18	小七度	A♯, B♭	−4	播放^ⓘ
				19	大六度	A	+2	播放^ⓘ
		5	10	20	小六度	G♯, A♭	+14	播放^ⓘ
				21	五度	G	+29	播放^ⓘ
			11	22	三全音	F♯, G♭	+49	播放^ⓘ
				23	三全音	F♯, G♭	−28	播放^ⓘ
	3	6	12	24	四度	F	−2	播放^ⓘ
				25	大三度	E	+27	播放^ⓘ
			13	26	大三度	E	−41	播放^ⓘ
				27	小三度	D♯, E♭	−6	播放^ⓘ
		7	14	28	大二度	D	+31	播放^ⓘ
				29	大二度	D	−30	播放^ⓘ
			15	30	小二度	C♯, D♭	+12	播放^ⓘ
				31	小二度	C♯, D♭	−45	播放^ⓘ

三和弦

对比两个音列的前5个音，可得：

泛音列：C C G C E G
沉音列：C C F C ♭A F

C的沉音列中包含F小三和弦。Elizabeth Godley认为，沉音列中也蕴含着小三和弦，且在声学中也是自然产生的。^[6] “根据该理论，小三和弦的五音——而不是根音，才是生成整个和弦的‘生成音’”。 ^[7]大三和弦由生成音及其上方的大三度、纯五度音构成，而小三和弦则由生成音及其下方的大三度、纯五度音构成。^[7]

共振

亥姆霍兹在《论音的感觉》中观察到，钢琴上的C弦在其沉音（c、F、C、降A、F、D、C等）发声时，比泛音发声时改变更大。亥姆霍兹论证说，沉音的共振并不比泛音弱。^[8] 考威尔在《新音乐资源》（p. 21-23）中提到了一位“莫斯科音乐学研究所的Nicolas Garbusov教授”，他发明了一种“在不借助共鸣的情况下至少能听到前9次沉音”的装置。他将这种现象描述为在乐器的共鸣中出现：“原本的发声体发不出沉音，但难免会在共鸣中出现通常共鸣体会响应每一次振动但某些情况下这些共鸣体每隔一次振动响应一次，发出半频音甚至某些情况下每隔三次共振一次音乐中这样的沉音经常是能听到的，这对于理解下属功能、小三和弦这些关系很重要。”

作曲上的意义

沉音列首先由扎利诺在Instituzione armoniche（1558）中提出，并被里曼和丹第等理论家用来解释小和弦等泛音列无法解释的现象。^[1]然而，亨德米特认为沉音列纯粹是泛音列在理论上的“音程倒影”。这一论断的根据是，沉音不像泛音那样随着基音鸣响而鸣响。^[9] 另一方面，Harry Partch反驳道，泛音列和沉音列同样都是根本性的，他的阳调性和阴调性理论就是基于这种认识。^[10]类似地，Graham H. Jackson在他的《音乐和声的精神基础》（2006）一书中^[11]声称，泛音列和沉音列必须视作实实在在的两极，一个代表外部的“物质世界”，另一个代表主观的“内在世界”。这种观点很大程度上源自这样的事实：泛音列可以有科学的物质性解释，所以才被广为接受；而沉音列的主要争议是，它只能由主观经验得到。例如，小三度听上去经常被认为是悲伤的，起码也是沉思的，因为人类听所有的和弦都从下往上理解。如果情感是依据沉音列顶端的“基音”而来，那么一个下行的小三和弦就不是忧伤的，而是有一种征服感。相比之下，泛音列就像从外部刺进来。在Rudolf Steiner的著作影响下，Jackson追溯包括这两个音列在内的主要五度相生音阶的历史，并认为，巴赫作品的和声隐蔽地抵消了沉音列。 Kathleen Schlesinger在她1939年的"The Greek Aulos"一书中指出，希腊的阿夫洛斯管上的音孔是等距的，所以必然会吹出沉音列。她称这一发现不仅揭晓了希腊调式的诸多谜团，也说明了全世界许多古代调式体系应该都是基于这一原理的。 1868年，Adolf von Thimus表明，由1世纪的一位毕达哥拉斯学派学者Nicomachus of Gerasa提出、被4世纪的杨布里科斯继承，并最终由von Thimus本人解出的一个理论，揭示了毕达哥拉斯就已得出了一整页的调和-次调和交错级数。^[12]

参见

参考文献

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Nattiez, Jean-Jacques (1990) [1987]. Music and Discourse: Toward a Semiology of Music (Musicologie générale et sémiologue). Translated by Carolyn Abbate (1990). Princeton, N.J.: Princeton University Press. p. 202. ISBN 0-691-02714-5. Undertone series shown on E.
^ ^2.0 ^2.1 Dallos, Peter. The Auditory Periphery Biophysics and Physiology. Elsevier. 2012: 2012.
^ Sotorrio, José A (2002). Tone Spectra -and the Natural Elements of Music. (1st Ed) Spectral Music, 2002.
^ Truax, Barry (编). Handbook for Acoustic Ecology. World Soundscape Project, Simon Fraser University. 1999 [2019-04-08]. （原始内容存档于2018-08-02）.
^ Rehding, Alexander (2003). Hugo Riemann and the Birth of Modern Musical Thought, p.16. ISBN 978-0-521-82073-8给出高达9次谐音，但没有标出数字。
^ Godley, Elizabeth. The Minor Triad. Music & Letters (Oxford University Press). 1952, 33 (4): 285?95. ISSN 1477-4631. JSTOR 729740. doi:10.1093/ml/XXXIII.4.285.
^ ^7.0 ^7.1 (1893). "Russian Folk-Songs", Music （页面存档备份，存于互联网档案馆）: a monthly magazine, devoted to the art, science, technic and literature of music, Volume 4, p.131. W.S.B. Mathews.
^ Hermann von Helmholtz. On the Sensations of Tone. Dover Publications. 1954: 47. ISBN 978-0-486-60753-5.
^ Hindemith, Paul. The Craft of Musical Composition. 由Authur Mendel翻译 revised. New York: Associated Music Publishers. 1945: 78 [1937]. ISBN 0-901938-30-0. It seems to me repugnant to good sense to assume a force capable of producing such an inversion. ... [The undertone series] can never have for music the same significance as the overtone series. ... This "undertone series" has no influence on the color of the tone, and lacks the other natural advantages of the overtone series...
^ Partch, Harry. Genesis of a Music second. New York: Da Capo Press. 1974: 89 [1949]. ISBN 0-306-80106-X. Under-number tonality, or Utonality ("minor"), is the immutable faculty of ratios, which in turn represent an immutable faculty of the human ear.
^ Graham H. Jackson, The Spiritual Basis of Musical Harmony, George A. Vanderburgh, Shelburne, ON, Canada, 2006, 196 pp.
^ Adolf von Thimus: Die Harmonikale Symbolik des Altertums, Verlag der M. DuMont-Schaubergischen Buchhandlung, K?ln, 1868

深入阅读

Gurewitsch, Matthew. For a Violinist, Success Means a New Low Point. The New York Times. May 13, 2011 [January 23, 2012].

外部链接

Website of Mari Kimura with audio clips （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Article on Mari Kimura （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[Nattiez-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Nattiez, Jean-Jacques (1990) [1987]. Music and Discourse: Toward a Semiology of Music (Musicologie générale et sémiologue). Translated by Carolyn Abbate (1990). Princeton, N.J.: Princeton University Press. p. 202. ISBN 0-691-02714-5. Undertone series shown on E.

[Dallos-2] 2.0 ^2.1 Dallos, Peter. The Auditory Periphery Biophysics and Physiology. Elsevier. 2012: 2012.

[Sotorrio-3] Sotorrio, José A (2002). Tone Spectra -and the Natural Elements of Music. (1st Ed) Spectral Music, 2002.

[speaker-4] Truax, Barry (编). Handbook for Acoustic Ecology. World Soundscape Project, Simon Fraser University. 1999 [2019-04-08]. （原始内容存档于2018-08-02）.

[5] Rehding, Alexander (2003). Hugo Riemann and the Birth of Modern Musical Thought, p.16. ISBN 978-0-521-82073-8给出高达9次谐音，但没有标出数字。

[6] Godley, Elizabeth. The Minor Triad. Music & Letters (Oxford University Press). 1952, 33 (4): 285?95. ISSN 1477-4631. JSTOR 729740. doi:10.1093/ml/XXXIII.4.285.

[Music-7] 7.0 ^7.1 (1893). "Russian Folk-Songs", Music （页面存档备份，存于互联网档案馆）: a monthly magazine, devoted to the art, science, technic and literature of music, Volume 4, p.131. W.S.B. Mathews.

[8] Hermann von Helmholtz. On the Sensations of Tone. Dover Publications. 1954: 47. ISBN 978-0-486-60753-5.

[9] Hindemith, Paul. The Craft of Musical Composition. 由Authur Mendel翻译 revised. New York: Associated Music Publishers. 1945: 78 [1937]. ISBN 0-901938-30-0. It seems to me repugnant to good sense to assume a force capable of producing such an inversion. ... [The undertone series] can never have for music the same significance as the overtone series. ... This "undertone series" has no influence on the color of the tone, and lacks the other natural advantages of the overtone series...

[10] Partch, Harry. Genesis of a Music second. New York: Da Capo Press. 1974: 89 [1949]. ISBN 0-306-80106-X. Under-number tonality, or Utonality ("minor"), is the immutable faculty of ratios, which in turn represent an immutable faculty of the human ear.

[11] Graham H. Jackson, The Spiritual Basis of Musical Harmony, George A. Vanderburgh, Shelburne, ON, Canada, 2006, 196 pp.

[12] Adolf von Thimus: Die Harmonikale Symbolik des Altertums, Verlag der M. DuMont-Schaubergischen Buchhandlung, K?ln, 1868

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