正规化均方根误差

正规化均方根误差（英语：normalized root-mean-square error，缩写为NRMSE）是将均方根误差正规化后所得的统计数值。正规化均方根误差经常被被使用于量测两个信号，如图像、影片，及声音讯号等之间的相似度。

定义

在影像处理中，给定两个单色影像 $x[m,n]$和$y[m,n]$，那么它们的正规化均方根误差可定义如下：

$\mathrm {NRMSE} ={\sqrt {\frac {\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}{|y[m,n]-x[m,n]|}^{2}}{\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}|{x[m,n]}|^{2}}}}$

NRMSE于影像辨识常见的缺点

NRMSE理论上能够比较两个影像的差异，但实际上可能无法反映出人类对于的两个讯号之间的相似度的直观感受。NRMSE只是利用两个影像的差异取绝对值的平方，相加后正规化再开平方，并没有考虑两张图之间的相关性。例子如下图：

NRMSE comparision - similar structure

• 图三 = 图一的像素亮度值(intensity) × 0.5 + 255.5 × 0.5
• 图一和图二之间的NRMSE 为 0.4411
• 图一和图三之间的NRMSE 为 0.4460

照理来说，人类会直观地认为图一和图三较相近。然而，图一和图二的NRMSE与图一和图三的NRMSE数值上的差异却非常小，无法明显地表现出图一和图三的相似性。有鉴于NRMSE无法完全反映人类视觉上所感受的误差，2004年有提新的误差测量方法被提出，名称为结构相似性（structural similarity，SSIM）。若使用SSIM：

• 图一和图二之间的SSIM 为 0.1040
• 图一和图三之间的SSIM 为 0.7720

结构相似性量测法比NRMSE更能表现图一、图三之间存在著的极高的相似度。接下来将举例3个 NRMSE 无法看出相似度，但是可以用SSIM 看出相似度的情形：

影子效应

NRMSE comparision - same photo with different shadow effect

• 图四和图五之间的NRMSE 为 0.4521（大于图一、图二之间的NRMSE），SSIM 为 0.6010

底片效应

NRMSE comparision - negative effect

• 图七 = 255 - 图六的像素亮度值
• 图六和图七之间的NRMSE 为 0.5616（大于图一、图二之间的NRMSE），SSIM 为 -0.8367 （高度负相关）

同形，但亮度不同的影像

NRMSE comparision - same shape with different pixel intensity

• 图八和图九之间的NRMSE 为 0.4978，SSIM 为 0.7333

其他有类似缺点的相似度量测工具：MSE、PSNR

除了NRMSE以外，均方误差（mean square error，MSE）及峰值信噪比（又称讯噪比，PSNR）皆有著类似的影像辨识缺点，原因在于它们有著相似的定义。

MSE的定义：

$\mathrm {MSE} ={\frac {1}{MN}}\;\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}{|y[m,n]-x[m,n]|}^{2}$

PSNR的定义：

${\mathit {PSNR}}=10\log _{10}\left({\frac {{\mathit {MAX}}_{x}^{2}}{{\frac {1}{MN}}\;\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}{|y[m,n]-x[m,n]|}^{2}}}\right)$

参见

• 信噪比（PSNR）
• 结构相似性（Structural Similarity）
• 影像处理

参考文献

• 国立台湾大学电信工程学研究所丁建均教授. 高等數位訊號處理. [2020-07-01]. （原始内容存档于2020-05-08）.