在数学上，复值域函数的正定函数 是和正定矩阵 有关的特质。
令
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
实数 集合，
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
复数 集合。
函数
f
:
R
→
C
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }
半正定 ，若针对所有实数x 1 , …, x n n × n 矩阵
A
=
(
a
i
j
)
i
,
j
=
1
n
,
a
i
j
=
f
(
x
i
−
x
j
)
{\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})}
都是半正定矩阵 [来源请求]
依照定义，半正定矩阵（像是
A
{\displaystyle A}
埃尔米特矩阵 ，因此f (−x )是f (x ))的共轭复数 。
若上述矩阵改为正定矩阵、半负定矩阵及负定矩阵，则函数则为正定函数 、半负定函数 及负定函数 。
若
(
X
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
内积空间 ，则
g
y
:
X
→
C
{\displaystyle g_{y}\colon X\to \mathbb {C} }
x
↦
exp
(
i
⟨
y
,
x
⟩
)
{\displaystyle x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )}
y
∈
X
{\displaystyle y\in X}
u
∈
C
n
{\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{n}}
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
u
∗
A
(
g
y
)
u
=
∑
j
,
k
=
1
n
u
k
¯
u
j
e
i
⟨
y
,
x
k
−
x
j
⟩
=
∑
k
=
1
n
u
k
¯
e
i
⟨
y
,
x
k
⟩
∑
j
=
1
n
u
j
e
−
i
⟨
y
,
x
j
⟩
=
|
∑
j
=
1
n
u
j
¯
e
i
⟨
y
,
x
j
⟩
|
2
≥
0.
{\displaystyle u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.}
正定函数的非负线性组合也是正定函数，像是余弦函数 是上述函数的非负线性组合，因此是正定的：
cos
(
x
)
=
1
2
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
=
1
2
(
g
1
+
g
−
1
)
.
{\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).}
若有正定函数
f
:
R
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }
向量空间
X
{\displaystyle X}
f
:
X
→
C
{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }
线性函数
ϕ
:
X
→
R
{\displaystyle \phi \colon X\to \mathbb {R} }
f
∗
:=
f
∘
ϕ
{\displaystyle f^{*}:=f\circ \phi }
u
∗
A
(
f
∗
)
u
=
∑
j
,
k
=
1
n
u
k
¯
u
j
f
∗
(
x
k
−
x
j
)
=
∑
j
,
k
=
1
n
u
k
¯
u
j
f
(
ϕ
(
x
k
)
−
ϕ
(
x
j
)
)
=
u
∗
A
~
(
f
)
u
≥
0
,
{\displaystyle u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,}
其中
A
~
(
f
)
=
(
f
(
ϕ
(
x
i
)
−
ϕ
(
x
j
)
)
=
f
(
x
~
i
−
x
~
j
)
)
i
,
j
{\displaystyle {\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}}
ϕ
{\displaystyle \phi }
线性 时，每一个
x
~
k
:=
ϕ
(
x
k
)
{\displaystyle {\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})}
[ 1]
正定函数也出现在傅里叶变换 的理论中，可以看出一个函数f 正定就是可以成为在函数g （且g (y ) ≥ 0）在实数线上傅里叶变换的充份条件。
反过来的结果就是Bochner定理 连续 正定函数是正测度 的傅里叶变换[ 2]
在统计学 （特别是贝叶斯统计 ）里，此定理常用在实函数中，一般来说，会在
R
d
{\displaystyle R^{d}}
n 个纯量的量测，若要量测结果有高度相关性，这些点需要互相靠近。实际上，必须小心确保所得的共变异数矩阵（n × n f ），则函数f 一定会是正定函数，以确保共变异数矩阵A 是正定的。
在此context下，一般不会用傅里叶变换，而是称f (x )是对称 机率密度函数 （PDF）的特征函数 。
可以在局部紧阿贝尔拓朴群 定义正定函数，Bochner定理可以扩展到此context。群上的正定函数会出自然的出现在希尔伯特空间 上群的表示论 里（也就是酉表示
^ Cheney, Elliot Ward. A course in Approximation Theory . American Mathematical Society. 2009: 77–78 [3 February 2022] . ISBN 9780821847985 ^ Bochner, Salomon . Lectures on Fourier integrals
Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. Harmonic Analysis on Semigroups , GTM, Springer Verlag.
Z. Sasvári, Positive Definite and Definitizable Functions , Akademie Verlag, 1994
Wells, J. H.; Williams, L. R. Embeddings and extensions in analysis . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii+108 pp.
. Princeton University Press. 1959.
