模曲线

在代数几何及数论领域，模曲线是一类紧黎曼曲面，同时也是定义于某数域上的射影代数曲线。模曲线是当代数论、表示理论及代数几何中重要的课题。

“模曲线”一词源于以下事实：模曲线参数化了一族椭圆曲线，因而是一种模空间。志村簇是模曲线在高维度的类比。

定义

考虑上半平面 ${\mathcal {H}}:=\{z\in \mathbb {C} :{\hbox{Im}}(z)>0\}$。取 ${\mathcal {H}}$ 对模群 $\Gamma :={\hbox{SL}}(2,\mathbb {Z} )$ 的有限指数子群之商，所得到的未必是紧致空间。作完备化后便得到模曲线。可以证明模曲线必然是 $\mathbb {C}$ 上的平滑代数曲线；从复分析角度来看，便是紧黎曼曲面。

例子

对正整数 $N$，定义同馀子群

$\Gamma (N):={\hbox{Ker}}({\hbox{SL}}(2,\mathbb {Z} ){\stackrel {{\hbox{mod }}N}{\longrightarrow }}{\hbox{SL}}(2,\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ))$。

相应的模曲线记为 $X(N)$，也称为古典模曲线。除了完备化添加的尖点外，其复值点一一对应于下述资料的同构等价类：

$(E,P)$，$E$ 是复椭圆曲线、$P\in E(\mathbb {C} )$ 是 $N$-挠点。

当 $N\leq 2$ 时，$X(N)$ 的亏格等于零，否则其亏格则是

$g(X(N))=1+{\frac {N^{2}(N-6)}{24}}\prod _{p|N}(1-p^{-2})$。

$\Gamma (N)$ 的模形式可理解为 $X(N)$ 上某族线丛的截面。此时可以用几何方式研究赫克算子，因为它们由模曲线之间的对应给出。

外部链接

• A.A. Panchishkin, A.N. Parshin, Modular curve, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4