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梅森素数与完全数集合

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6是完全数
20世纪下半叶起已知最大质数位数对数图，这些已知最大质数大多是梅森素数

梅森素数与完全数是数论里关系密切的自然数。梅森素数以数学家、神学家、修士马兰·梅森命名，是能以2甲－1表示、且甲为正整数的质数，如梅森素数3就能写成22－1[1][2]。梅森素数在上述表达式对应的数甲一定是质数，但甲是质数不代表得出的结果就是梅森素数，如211－1＝2047＝23×89[3]。完全数是等于真因数之和的自然数，真因数即自然数除自身外的因数。如6就是完全数，因数分别是1、2、3、6且1＋2＋3＝6。[2][4]

根据欧几里得部分证明、莱昂哈德·欧拉完全证明的欧几里得－欧拉定理可知梅森素数与已知完全数一一对应：只有能换算成公式2甲－1×（2甲－1），且2甲 − 1是梅森素数的偶数是完全数。以甲＝2为例，22－1＝3为质数，22－1×（22－1）＝2×3＝6为完全数。[1][5][6]

梅森素数与完全数是否无穷尽目前还是未解决的数学问题[2][6]，伦斯特拉－波默朗斯－瓦格斯塔夫猜想的主题便是梅森素数频率，推断比x小的梅森素数期望个数为（eγ/log2）×log log x，其中e是欧拉数，γ是欧拉常数，log是自然对数[7][8][9]。已经发现的完全数都是偶数，但尚未排除存在奇数完全数的可能。已证明奇完全数必满足某些条件，如不小于101500[10]。

下表列出所有已知梅森素数、完全数及对应指数甲。截至2021年10月共发现51个梅森素数（及对应完全数），最大17个均由互联网梅森素数大搜索分布式计算项目发现。[2]新梅森素数是用卢卡斯－莱默检验法发现，这种梅森素数素性测试可用于二进制计算机[2]。

数字按从小到大排列，如果新发现比现有结果小的梅森素数则插入中间。序号后面的问号说明尚待验证。截至2021年10月，互联网梅森素数大搜索已经计算至甲＝5820万4879，即第48个梅森素数以前的所有自然数均已验证。[11]发现时间和发现人均指梅森素数，完全数按欧几里得－欧拉定理计算。发现人列为“互联网梅森素数大搜索：姓名”说明此人拥有的设备采用互联网梅森素数大搜索找到该数。除前八个不超过十位外，后面的结果都非常长，最长的已有数千万位；下表仅列出前后各六位，中间以省略号表示。

梅森素数与完全数集合

  GIMPS发现的梅森素数

  最小未验证梅森素数

  梅森猜测的梅森质数

  古代知道的梅森素数

  拉尔夫·欧内斯特·鲍尔斯发现的梅森素数

  唐纳德·吉利斯发现的梅森质数

  大卫·斯洛文斯基发现的梅森素数

下表列出了所有已知的梅森素数：OEIS A000668

下表列出了所有已知的梅森素数指数：OEIS A000043

序 甲 梅森素数 梅森素数位数 对应完全数 完全数位数 发现时间 发现人 发现方法 参考[12]
1 2 3 1 6 1 古代[注 1] 古希腊数学家已经知晓 人手计算 [13][14][15]
2 3 7 1 28 2 [13][14][15]
3 5 31 2 496 3 [13][14][15]
4 7 127 3 8128 4 [13][14][15]
5 13 8191 4 33550336 8 约1456年[注 2] 不明[注 3] 试除法 [14][15]
6 17 131071 6 8589869056 10 1588年[注 2] 皮特罗·卡塔尔迪 [2][18]
7 19 524287 6 137438691328 12 [2][18]
8 31 21亿4748万3647 10 230584……952128 19 1772年 莱昂哈德·欧拉 [19]
9 61 230京5843兆0092亿1369万3951 19 265845……842176 37 1883年11月 伊万·波佛辛 卢卡斯数列 [20]
10 89 618970……562111 27 191561……169216 54 1911年6月 拉尔夫·欧内斯特·鲍尔斯 卢卡斯数列 [21]
11 107 162259……288127 33 131640……728128 65 1914年6月 [22]
12 127 170141183460469231731687303715884105727 39 144740……152128 77 1876年1月 爱德华·卢卡斯 卢卡斯数列 [23]
13 521 686479……057151 157 235627……646976 314 1952年1月 拉斐尔·米切尔·罗宾逊 计算机采用卢卡斯－莱默检验法 [24]
14 607 531137……728127 183 141053……328128 366 [24]
15 1279 104079……729087 386 541625……291328 770 1952年6月 [25]
16 2203 147597……771007 664 108925……782528 1327 1952年10月 [26]
17 2281 446087……836351 687 994970……915776 1373 [26]
18 3217 259117……315071 969 335708……525056 1937 1957年9月 汉斯·黎瑟尔 [27]
19 4253 190797……484991 1281 182017……377536 2561 1961年11月 亚历山大·赫维茨 [28]
20 4423 285542……580607 1332 407672……534528 2663 [28]
21 9689 478220……754111 2917 114347……577216 5834 1963年5月 唐纳德·吉利斯 计算机采用卢卡斯－莱默检验法 [29]
22 9941 346088……463551 2993 598885……496576 5985 [29]
23 11213 281411……392191 3376 395961……086336 6751 1963年6月 [29]
24 19937 431542……041471 6002 931144……942656 12003 1971年3月 计算机采用卢卡斯－莱默检验法 布莱恩特·塔克曼 [30]
25 21701 448679……882751 6533 100656……605376 13066 1978年10月 蓝登·克特·诺尔、劳拉·尼克尔 [31]
26 23209 402874……264511 6987 811537……666816 13973 1979年2月 蓝登·克特·诺尔 [31]
27 44497 854509……228671 13395 365093……827456 26790 1979年4月 计算机采用卢卡斯－莱默检验法 哈里·尼尔森、大卫·斯洛文斯基 [32][33]
28 86243 536927……438207 25962 144145……406528 51924 1982年9月 大卫·斯洛文斯基 [34]
29 11万0503 521928……515007 33265 136204……862528 66530 1988年1月 计算机采用卢卡斯－莱默检验法 沃尔特·科尔奎特、卢克·韦尔什 [35][36]
30 13万2049 512740……061311 39751 131451……550016 79502 1983年9月 计算机采用卢卡斯－莱默检验法 大卫·斯洛文斯基等人（克雷公司） [37]
31 21万6091 746093……528447 65050 278327……880128 13万0100 1985年9月 [38][39]
32 75万6839 174135……677887 22万7832 151616……731328 45万5663 1992年2月 [40]
33 85万9433 129498……142591 25万8716 838488……167936 51万7430 1994年1月 [41]
34 125万7787 412245……366527 37万8632 849732……704128 75万7263 1996年9月 [42][43]
35 139万8269 814717……315711 42万0921 331882……375616 84万1842 1996年11月 计算机采用卢卡斯－莱默检验法 互联网梅森素数大搜索：乔尔·阿蒙古德 [44]
36 297万6221 623340……201151 89万5932 194276……462976 179万1864 1997年8月 互联网梅森素数大搜索：戈登·斯彭斯 [45]
37 302万1377 127411……694271 90万9526 811686……457856 181万9050 1998年1月 互联网梅森素数大搜索：罗兰·克拉克森 [46]
38 697万2593 437075……193791 209万8960 955176……572736 419万7919 1999年6月 互联网梅森素数大搜索：纳扬·哈吉拉特瓦拉 [47]
39 1346万6917 924947……259071 405万3946 427764……021056 810万7892 2001年11月 互联网梅森素数大搜索：迈克尔·卡梅隆 [48]
40 2099万6011 125976……682047 632万0430 793508……896128 1264万0858 2003年11月 互联网梅森素数大搜索：迈克尔·谢弗 [49]
41 2403万6583 299410……969407 723万5733 448233……950528 1447万1465 2004年5月 互联网梅森素数大搜索：乔希·芬德利 [50]
42 2596万4951 122164……077247 781万6230 746209……088128 1563万2458 2005年2月 互联网梅森素数大搜索：马丁·诺瓦克 [51]
43 3040万2457 315416……943871 915万2052 497437……704256 1830万4103 2005年12月 互联网梅森素数大搜索：柯蒂斯·库珀、史蒂文·布恩 [52]
44 3258万2657 124575……967871 980万8358 775946……120256 1961万6714 2006年9月 [53]
45 3715万6667 202254……220927 1118万5272 204534……480128 2237万0543 2008年9月 互联网梅森素数大搜索：汉斯－迈克尔·埃尔维尼奇 [54]
46 4264万3801 169873……314751 1283万7064 144285……253376 2567万4127 2009年6月 互联网梅森素数大搜索：奥德·麦格纳·斯特林莫 [55]
47 43112609 316470……152511 1297万8189 500767……378816 2595万6377 2008年8月 互联网梅森素数大搜索：埃德森·史密斯 [54][56]
48 5788万5161 581887……285951 1742万5170 169296……130176 3485万0340 2013年1月 互联网梅森素数大搜索：柯蒂斯·库珀 [57][58]
不适用 6868万9253 最低未验证里程碑（截至西元2024年6月23日）[注 4]
49？ 7420万7281 300376……436351 2233万8618 451129……315776 4467万7235 2016年1月 互联网梅森素数大搜索：柯蒂斯·库珀 计算机采用卢卡斯－莱默检验法 [59][60]
50？ 7723万2917 467333……179071 2324万9425 109200……301056 4649万8850 2017年12月 互联网梅森素数大搜索：乔纳森·佩斯 [61][62]
51？ 8258万9933 148894……902591 2486万2048 110847……207936 4972万4095 2018年12月 互联网梅森素数大搜索：帕特里克·拉罗什 [63][64]
不适用 1亿1748万5899 最低未测试里程碑（截至西元2024年6月23日）[注 4]

注释

  1. ^ 尼科马库斯100年左右记下前四个完全数，欧几里得的《几何原本》便有完全数、梅森素数的定义和实例，但具体发现年代已不可考。
  2. ^ 2.0 2.1 伊斯兰数学家伊斯梅尔·伊本·易卜拉欣·伊本·费卢斯等人可能比欧洲人更早发现第五到第七个完全数[16]。
  3. ^ 手稿注明年份1456至1461但没有署名，现存巴伐利亚国立图书馆，编码“Clm 14908”[14][17]。
  4. ^ 4.0 4.1 截至2021年10月[11]。

参考资料

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