格拉斯曼数

在数学物理学中，格拉斯曼数（又称反交换数）是一种用于狄拉克场路径积分表示的数学架构。格拉斯曼数是以德国学者赫尔曼·格拉斯曼命名的。

性质

各格拉斯曼变数 $\theta _{i}$ 均与代数的实数元无关，它们之间互成反交换关系，但与一般数 $x$ 间则为交换关系：

\theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}\qquad \theta _{i}x=x\theta _{i}

。

需要注意的是，此算符的平方为零：

由于

\theta _{i}\theta _{i}=-\theta _{i}\theta _{i}

，所以

(\theta _{i})^{2}=0\,

。

为了能让费米子也有路径积分，格拉斯曼数的积分需要有以下特性：

线性

\int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta

分部积分公式

\int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0

。

因此格拉斯曼量的积分有以下的规定：

\int \,1\,d\theta =0

\int \,\theta \,d\theta =1

。

所以结论为任何格拉斯曼数的微分及积分都是相同的。

在量子场论的路径积分表述中，在描述费米子反交换场时，需要用到以下含格拉斯曼量的高斯积分：

\int \exp \left[\theta ^{T}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A

。

其中 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵。

由格拉斯曼数集合所生成的代数叫格拉斯曼代数。由 $n$ 个线性独立的格拉斯曼数生成的代数，其维度为 $2^{n}$ 。

格拉斯曼代数是超交换代数的原型。超交换代数还可以分成偶变量与奇变量，因此可以满足分层的交换律（特别是奇变量为反交换）。

外代数

格拉斯曼代数是生成元所张成的向量空间的外代数。外代数的定义与基底的选择无关。

矩阵表示

格拉斯曼数都能以矩阵形式表示。例如，已知一格拉斯曼代数，是由两个格拉斯曼数 $\theta _{1}$ 及 $\theta _{2}$ 所生成。这些格拉斯曼数可用4×4矩阵表示：

\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{bmatrix}}

。

一般来说，由n个生成元生成的格拉斯曼代数，可用 $2^{n}\times 2^{n}$ 的正方形矩阵表示。在物理上，这些矩阵可被视为升算符，作用对象为占位数基底中n个费米子的希尔伯特空间。由于每个费米子的占位数皆为0或1，因此共有 $2^{n}$ 种基底态。在数学上，这些矩阵可被视为线性算符，对应与格拉斯曼代数自身的左外乘法。

应用

在量子场论中，格拉斯曼数为反交换算符的“经典类比”。它们用于定义费米子场的路径积分，因此需要为格拉斯曼数的积分下定义，这种积分又叫别列津积分。

格拉斯曼数在为超流形（或超空间）下定义时有重要用途，此时它们被用作“反交换座标”。

另见

参考资料

Michael Peskin; Daniel Schroeder. An Introduction to Quantum Field Theory. Frontiers in Physics. Reading, Massachusetts: Westview Press. 1995: pp298–302. ISBN 0201503972.