在数学中,本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F,E可以表示为
的形式,即E可以由单个元素生成。
定理
一个有限扩张E/F有本原元,即存在
使得
,当且仅当E和F之间只有有限个中间域。
证明
如果
是有限域,由于
是有限扩张,推得
也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群,任取这个乘法群的一个生成元,
可以由这个生成元生成。所以在
是有限域的情况下,定理左右两边恒为真。
如果
是无限域,但是只有有限个中间域。
先证明一个引理:假设
并且
和
之间只有有限个中间域,那么存在一个
使得
。引理的证明如下:当
取遍
的时候,对于每一个
可以做一个中间域
。但是由假设,只有有限个中间域,因此必定存在
使得
。由于
都在这个域里,推得
也在这个域里。由于
,推得
在这个域里,于是
也在这个域里,因此
,于是
。引理证毕。
由于有限扩张总是有限生成的,推得
(对于
)。利用归纳法以及引理可以得出,如果
之间只有有限个中间域,那么
可以由单个元素生成。
而如果
,假设
是
在
上的极小多项式,
是任意一个中间域,
是
在
上的极小多项式。显然
。由于域上的多项式环是唯一分解环,
只有有限个因子。而对于每一个
,如果
写作
,并令
。显然
是
的一个子域,因此
在
上依然是不可约的。而同时
,因此可以得到
。这样立即推
,于是任何一个中间域
对应唯一的一个
的因子
。于是中间域个数小于因子的个数。但因子个数是有限的,因此中间域个数有限。证毕。
推论
- 由于有限可分扩张只有有限个中间域,由本原元定理立刻推出这个扩张有单个生成元
参见
参考文献