时钟问题

时钟问题（又称钟表问题）是一类与时钟有关的数学问题。这类题常见于中国大陆小学奥林匹克数学，以及中国国家公务员考试中。^[1]

概述

求解这类型题的关键在于找到时间与角之间的关系。解题中角一般用角度制表示，时间使用十二小时制。求解技巧有列方程、使用追及问题模型等^[2]。

时针在12小时内转过1周（360°），故时针1小时转30°，1分钟转0.5°。分针1小时转360°，故1分钟转6°。由此可以推出以下公式：

当时间为H时M分时，时针与12点钟方向夹角的角度数（ $\theta _{\text{hr}}$ ）为：

\theta _{\text{hr}}={\frac {1}{2}}(60H+M)

分针与12点钟方向夹角的角度数（ $\theta _{\text{min.}}$ ）为：

\theta _{\text{min.}}=6M

时针与分针之间的夹角为：

{\begin{aligned}\Delta \theta &=\left|\theta _{\text{hr}}-\theta _{\text{min.}}\right|\\&=\left|{\frac {1}{2}}(60H+M)-6M\right|\\&=\left|{\frac {1}{2}}(60H-11M)\right|\end{aligned}}

2:00到3:00之间，哪一时刻时针与分针重合？

解：当且仅当 $\theta _{\text{hr}}=\theta _{\text{min.}}$ 时，时针与分针重合。依公式有，

{\begin{aligned}{\frac {1}{2}}(60H+M)&=6M\\11M&=60H\\M&={\frac {60}{11}}H\end{aligned}}

代入 $H=2$ ，得 $M=10{\frac {10}{11}}$ 。即2时 $10{\frac {10}{11}}$ 分，时针与分针重合。