数域

数域是近世代数学中常见的概念，指对加减乘除四则运算封闭的代数系统。通常定义的数域是指复数域$\mathbb {C}$的子域。“数域”一词有时也被用作代数数域的简称，但两者的定义有细微的差别。

定义

设${\mathcal {P}}$是复数域$\mathbb {C}$的子集。若${\mathcal {P}}$中包含0与1，并且${\mathcal {P}}$中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在${\mathcal {P}}$中，就称${\mathcal {P}}$为一个数域。用域论的话语来说，复数域的子域是为数域。

任何数域都包括有理数域$\mathbb {Q}$，但并不一定是$\mathbb {Q}$的有限扩张，因此数域不一定是代数数域。例如实数域$\mathbb {R}$和复数域$\mathbb {C}$都不是代数数域。反之，每个代数数域都同构于某个数域。

例子

除了常见的实数域$\mathbb {R}$和复数域$\mathbb {C}$以外，通过在有理数域中添加特定的无理数进行扩张得到的扩域也是数域。例如所有形同：

$a+b{\sqrt {2}},\;\;a,b\in \mathbb {Q}$

的数的集合，就是一个数域。可以验证，任何两个这样的数，它们的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都能写成$a+b{\sqrt {2}}$的形式，故仍然在集合之中。这个集合记作$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$，是有理数域$\mathbb {Q}$的二次扩域。

可构造数

可构造数也叫规矩数，指的是从给定的单位长度开始，能够通过有限次标准的尺规作图步骤做出的长度数值。所有可构造数的集合记为${\mathcal {C}}$，是一个数域。因为给定了两个已经做出的线段后，可以通过符合尺规作图规定的手段，在有限步内作出长度为两者长度之和、差、乘积以及商的线段。${\mathcal {C}}$是$\mathbb {Q}$的扩域，次数为无限大，是实数域$\mathbb {R}$的子域。

代数数

代数数指能够成为某个有理系数多项式的根的数。所有代数数的集合记作${\mathcal {A}}$，是一个数域。${\mathcal {A}}$也常被称为代数数域，但与定义为“$\mathbb {Q}$的有限扩张”的代数数域是不同的概念。不过，每个$\mathbb {Q}$的有限扩张生成的域都可看作是$\mathbb {Q}$中加入某个代数数扩成的，所以都是${\mathcal {A}}$的子域。可构造数构成的数域${\mathcal {C}}$也是${\mathcal {A}}$的子域。由于虚数单位i也是代数数，所以${\mathcal {A}}$不是$\mathbb {R}$的子域。另一方面，自然对数的底e以及圆周率π都不是代数数，所以$\mathbb {R}$也不是${\mathcal {A}}$的子域。