微元法

微元法（英语：Differential element method），也叫元素法、微元素法、无穷小元素的求和法，是数学和物理中常用的一种求解数学和物理问题的方法。

概述

在求解力学量和物理量的实际应用中，很多新量的建立需要类似定积分中在求解面积和路程问题时分割、近似、求和、取极限的过程，为了使这一过程简化，微元法也就应运而生，微元法本身就是定积分的原始思想，它可以看做分割、近似、求和、取极限的简略过程，所以微元法也是一种思想方法。

历史上，在微积分的理论基础还不清楚，微分还没有严格定义时，微分被理解为一个比零大，但又比任何正数小的神秘的“数”，是无法理解的，这与现代明确的微分定义是不同的，它所对应的被度量的物理量就是微元。微元就是用这种无限小“微分”度量的具体的量，把微元理解为一个“无限小的过程”即“元过程”，这个“过程”可以是角度、线段、面、体，还可以是时间、位移、功等等，积分便是这些“无限小过程”之和，在求解力学量和物理量时，用这种想法可以快速地建立新量的积分表达式，因为这种想法方便实用，简便快捷，所以应用相当广泛。

当微积分的理论基础严格建立起来之后，旧的微分概念被抛弃了，取而代之的是现在的微分概念，微元法也有了严格的叙述方式，但在实际应用中，严格叙述较为繁琐，所以往往还是采用过去的理解，把微元看做“无限小的过程”。

内容

假设在某一实际问题中，对于给定的连续函数 $y=f(x)$ ，量 $Q$ 有以下三个特点：

1.一方面， $Q$ 是由区间 $[a,b]$ 所决定的常量，不妨记之为 $Q([a,b])$ 。另一方面，当考虑右端点变动的区间 $[a,x](a<x\leq b)$ 时， $Q([a,x])$ 又依赖于 $x$ 而成为变量，也就是说，它又是 $x$ 的函数而简记为 $Q(x)$ 。
2.对于 $[a,b]$ 的每个子区间， $Q$ 都有确定的值，并且关于区间有可加性，即若 $[\alpha ,\beta ]\subset [a,b],[\beta ,\gamma ]\subset [a,b]$ ，则

Q([\alpha ,\gamma ])=Q([\alpha ,\beta ])+Q([\beta ,\gamma ]).

3.部分量 $\Delta Q_{i}$ 的近似值可表示为 $f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 。

为了计算出量 $Q$ 并把它表达为积分的形式，我们采取两个步骤：

第一步（分割、近似），将区间 $[a,b]$ 进行分割，而得到

a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b

,

并求出 $Q([x_{i},x_{i+1}])$ (即 $\Delta Q_{i}$ )的近似值 $f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 。

第二步（求和、取极限），将 $f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 关于 $i$ 从 $0$ 到 $n-1$ 求和得到

Q([a,b])=\sum _{i=0}^{n-1}Q([x_{i},x_{i+1}])\approx \sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}

令 $max\left\{\Delta x_{i}\right\}\rightarrow 0$ 取极限，由于连续函数 $f(x)$ 的可积性，最后得

Q([a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\,dx

接下来我们把这个过程进行简化。

由上式可以知道

Q(x)=Q([a,x])=\int _{a}^{x}f(x)\,dx(a<x\leq b)

如果略去足码 $i$ ，而将任意的小区间记为 $[x,x+dx]$ ，并取 $Q([x,x+dx])$ 的近似值为 $f(x)dx$ ，由微分形式的微积分基本定理^[1]可知，它恰恰是 $Q(x)$ 的微分，即 $dQ=dQ(x)=f(x)dx$ 于是在实际应用上，上述两个步骤可以简述为

第一步，在区间 $[x,x+dx]$ 上计算 $Q$ 的微分 $dQ=f(x)dx$

第二步，在 $[a,b]$ 上求和（求积）得

Q=\int _{a}^{b}f(x)\,dx

不论是几何的物理的还是其他科学技术的量，只要它具有上述的三个特点，我们就可以用这个一般的程式求出它。这种方法通常称为无穷小元素的求和法或微元法。而 $dx$ 及 $dQ$ 则称为无穷小元素或微元。由于在力学和物理学的大部分问题中，通过问题的实际意义可以知道，所求量的函数是连续函数，因此微元法总是可以应用的。