广义相对论中的质量

广义相对论中的质量此一概念较之于狭义相对论中的质量更为复杂。事实上广义相对论并没有对“质量”这一词汇提供单一的定义，而是提供了许多不同的定义，适用于不同的场合。在一些场合下，广义相对论中一系统之质量甚至可能是无法定义的。

狭义相对论中的质量

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在狭义相对论中，一孤立系统之不变质量（此后单纯称为“质量”）可以用此系统的能量与动量来定义：

$m={\frac {\sqrt {E^{2}-\left(pc\right)^{2}}}{c^{2}}}$

其中E 是系统总能量，p是系统总动量，而c 是光速。简明地说，狭义相对论中一系统的质量为能量-动量四维矢量的范数(norm)。

沿用狭义相对论定义的障碍

欲将狭义相对论中的质量定义推广到广义相对论，会遇到两个主要难关。第一个难关在于如何找出一系统之总能量与总动量，情况并不明确。在平直时空只需做积分，将系统各部份之能量-动量四维矢量加总在一起，即可找出整个系统的总能量-动量四维矢量。

但不幸地，如此简单的程序并无法直接推广到广义相对论，以各处的四维矢量存在于不同的切空间，而无法协变式地相加在一起。

第二个难关在于：为了要在广义相对论中定义质量，必需维持能量是一个守恒量，而已诠释为时空曲率的“重力场”仍带有能量，需考虑进去。

但不幸地，广义相对论中的能量守恒远不比其他物理学理论中直接。在其他古典理论中，例如牛顿重力、电磁学、流体力学(hydrodynamics)，是可以派定一明确的能量密度值。举例来说，电场E的能量密度是为${1 \over 2}\epsilon _{0}E^{2}$。

在广义相对论则不然。事实显示：一般来说，不可能将“重力能量”派定到一个明确位置上。

欲解决广义相对论中能量守恒问题的近代手法是完全避免用到“重力场”这一概念，并将能量守恒视为时间平移对称性(time translation symmetry)的结果。诺特定理(Noether's theorem)当初发展的目的就是特别针对此一问题，每当有时间平移对称性存在时，则定义了一守恒能量。

然而并非所有系统都有此一要求的时间平移对称性。对于不具有时间平移对称性的系统，在广义相对论中则没有对于能量的普适定义。

广义相对论中的质量的数个类型

静态时空中的柯玛质量(Komar mass)

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静态时空的非技术性定义可说为：一时空之度规$g_{\mu \nu }\,$无一系数是时间函数。黑洞的史瓦西度规及转动黑洞的克尔度规是静态时空的常见例子。

照定义，一静态时空具有时间平移对称性。技术名词上，则存在有类时的戚灵向量(Killing vector)。因为此系统有时间平移对称性，诺特定理保证期会有一守恒能量。又因为一静态系统也有一良好定义的静止系，在其中动量会考虑为零值，则定义系统能量也同时定义其质量。在广义相对论中，这样的质量称作是系统的柯玛质量(Komar mass)。柯玛质量仅能对静态系统做定义。

柯玛质量也可透过一通量积分(flux integral)来定义。这样的方式类似于高斯定律定义一被一个表面包围住的电荷是正向电力与面积的乘积。不过，用以定义柯玛质量的通量积分与用以定义电场的通量积分略有差异——正向力(normal force)并非真实的力，而是在“无限远处的力”。细节请参见柯玛质量条目。

上述两种定义，将柯玛质量描述为时间平移对称性者提供了最深层的见解。

相关条目

• 质量
• 狭义相对论中的质量
• 广义相对论
• 能量守恒定律
• 柯玛质量
• ADM质量
• 邦迪质量

外部链接

• （英文）"Is energy conserved in General Relativity?（“广义相对论中能量是否守恒？”）