平衡集

在线性代数和相关的数学领域中，一个平衡集（balanced set）、圆集或圆盘是在一个域$K$上加上绝对值函数$||$的向量空间上的集合$S$，使得对于所有纯量$\alpha$以及$|\alpha |\leq 1$：

$\alpha S\subseteq S$

其中

$\alpha S:=\{\alpha x\mid x\in S\}$

集合S的平衡包（balanced hull）或平衡包络（balanced envelope）是包含S的最小平衡集。它可以由取所有包含S的平衡集的交集所构造出来。

例子

• 在赋范向量空间内的开或闭球是平衡集。
• 任何实或复向量空间的子空间是平衡集。
• 一个平衡集合族的笛卡儿积在对应的向量空间（相同的域K上）的积空间是平衡的。
• 考虑复数域ℂ为一维向量空间，平衡集为ℂ本身、空集和以0为中心的开圆盘与闭圆盘（设想复数为平面上的点）。反之，在二维欧几里得空间内有更多平衡集，例如任何以(0,0)为中点的线段。因此，ℂ和ℝ²在向量空间结构上是完全不同的。
• 若p是线性空间X上的半范数，对于任何常数c>0，集合{x ∈ X | p(x)≤c}是平衡的。

性质

• 平衡集的并集和交集是平衡集。
• 平衡集的闭包是平衡集。
• 根据定义（非性质），一个集合是绝对凸集若且唯若它是凸和平衡。
• 所有平衡集都是对称集。

参见

• 星形域

参考文献

• Robertson, A.P.; W.J. Robertson. Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. 1964: 4. 
• W. Rudin. Functional Analysis 2nd ed. McGraw-Hill, Inc. 1990. ISBN 0-07-054236-8.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• H.H. Schaefer. Topological Vector Spaces. GTM 3. Springer-Verlag. 1970: 11. ISBN 0-387-05380-8.