四元群

Q的环图。每一种颜色代表连结至单位元(1)之任一元素的次方。例如，红色的环反映了 $i^{2}=1$ 、 $i^{3}=-i$ 和 $i^{4}=1$ ，亦反映了 $(-i)^{2}=-1$ 、 $(-i)^{3}=i$ 和 $(-i)^{4}=1$ 。

在群论里，四元群 $Q_{8}$ (Quaternion Group) 是指一个阶为8的非交换群，常被简写为 $Q$ ，且用乘法的形式表示。包含下列8个元素：

Q=\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}

其中， $1$ 代表单位元素，且 $(-1)^{2}=1$ 。对于每个元素 $a\in Q$ ，有 $(-1)a=-a=a(-1)$ 的关系。另外，

i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1

$Q$ 的凯莱表如下：

	1	i	j	k	−1	−i	−j	−k
1	1	i	j	k	−1	−i	−j	−k
i	i	−1	k	−j	−i	1	−k	j
j	j	−k	−1	i	−j	k	1	−i
k	k	j	−i	−1	−k	−j	i	1
−1	−1	−i	−j	−k	1	i	j	k
−i	−i	1	−k	j	i	−1	k	−j
−j	−j	k	1	−i	j	−k	−1	i
−k	−k	−j	i	1	k	j	−i	−1

需要特别留意，这个群不是交换群，例如 $ij=-ji\neq ji$ 。 $Q$ 有著汉弥尔顿群较不常见的性质：每一个 $Q$ 的子群都是其正规子群，但这个群不是交换的。每一个汉弥尔顿群都会含有一个或多个 $Q$ 。

在抽象代数里，可以造出一个其基底为 $\{1,i,j,k\}$ 的四维实向量空间，并使用上面的乘法表和分配律来形成一个结合代数，称为一个四元数的除环。需要注意的是，这不是在 $Q$ 上的群代数（其应该是8维的）。相反地，也可以先由四元数开始，再“定义”出由八个元素 $\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$ 所组成之乘法子群作为四元群。

$i,j,k$ 都是 $Q$ 中阶为4的元素，任意选择其中两个就可以生成出整个群。 $Q$ 有著下列的展现 (presentation)：

\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},yxy^{-1}=x^{-1}\rangle

其中可以取 $i=x$ 、 $j=y$ 及 $k=xy$ 。

$Q$ 的中心及交换子群为 $\{1,-1\}$ 。其商群 $Q/\{1,-1\}$ 同构于克莱因四元群 (Klein four-group) $V$ 。而 $Q$ 的内自同构群 (Inner Automorphism Group) 同构于 $Q$ 同馀其中心，且因此也会同构于克莱因四元群。 $Q$ 的自同构群会同构于对称群 $S_{4}$ 。 $Q$ 的外自同构群因此为 $S_{4}/V\cong S_{3}$ 。