向量空间

向量空间是可以缩放和相加的（叫做向量的）对象的集合

向量空间是一群可缩放和相加的数学实体（如实数甚至是函数）所构成的特殊集合，其特殊之处在于缩放和相加后仍属于这个集合。这些数学实体被称为向量，而向量空间正是线性代数的主要研究对象。

正式定义

给定域 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 和某集合 $V$ ，它们具有了以下两种运算（函数）：

• 向量加法 $\oplus :V\times V\to V$ （其中 $\oplus (u,\,v)$ 惯例上简记为 $u\oplus v$ ）
• 标量乘法 $\cdot :K\times V\to V$ （其中 $\cdot \,(a,\,v)$ 惯例上简记为 $a\cdot v$ 甚至是 $av$ ）

且这两种运算满足：（特别注意 $+$ 和 $\times$ 是域 $K$ 是本身具有的加法和乘法）

名称		前提条件	内容
向量加法	的单位元与逆元素	存在 $V$ 的元素 $e\in V$ 对所有 $u\in V$	有 $e\oplus u=u\oplus e=u$
			且存在 $w\in V$ 使得 $w\oplus u=u\oplus w=e$
	的结合律	对所有 $u,\,v,\,w\in V$	$u\oplus (v\oplus w)=(u\oplus v)\oplus w$
	的交换律	对所有 $u,\,v\in V$	$u\oplus v=v\oplus u$
标量乘法	的单位元	对所有 $u\in V$	若 $1_{K}\in K$ 是 $K$ 的乘法单位元，则 $1_{K}\cdot u=u$
	对向量加法的分配律	对所有 $u,\,v\in V$ 和所有 $a\in K$	$a\cdot (u\oplus v)=a\cdot u\oplus a\cdot v$
	对域加法的分配律	对所有 $u\in V$ 和所有 $a,\,b\in K$	$(a+b)\cdot u=a\cdot u\oplus b\cdot u$
	与域乘法		$a\cdot (b\cdot u)=(a\times b)\cdot v$

这样称 “ $V$ 为定义在域 $K$ 上的向量空间”，而 $V$ 里的元素 $u\in V$ 被称为向量；域 $K$ 里的元素 $a\in K$ 被称为标量。这样域 $K$ 就是囊括所有标量的集合，所以为了解说方便，有时会将 $K$ 昵称为标量域或是标量母空间。在不跟域的加法混淆的情况下，向量加法 $\oplus$ 也可以简写成 $+$ 。

前四个条件规定 $\left(V,\,\oplus \right)$ 是交换群。上述的完整定义也可以抽象地概述成“ $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 是个域，且 $V$ 是一个 $K-$模”。

基本性质

以下定理都沿用正式定义一节的符号与前提条件。

定理 （1） — 向量加法的单位元是唯一的。

以上的定理事实上继承自群的单位元唯一性。这样的话，可以仿造群的习惯以记号 $0_{V}$ 代表“向量加法 $\oplus$ 的唯一单位元”，并称之为 $V$ 的零向量。

在不跟标量域的加法单位元 $0_{K}\in K$ 混淆的情况下，零向量 $0_{V}\in V$ 也可以简写成 $0$ 。

定理 （2） — 任意向量的向量加法逆元素是唯一的。

以上的定理事实上继承自群的逆元唯一性，这样的话，可以仿造群的习惯以 $u^{-1}$ 代表“向量 $u$ 在向量加法 $\oplus$ 下的唯一逆元素”，甚至可以把 $v\oplus u^{-1}$ 简记为 $v\ominus u$ ，并昵称为向量减法。在不跟标量的加法混淆的情况下， $u^{-1}$ 也可记为 $-u$ ； $v\ominus u$ 也可记为 $v-u$ 。

定理 （3） — 对所有的纯量 $a\in K$ 都有 $a\cdot 0_{V}=0_{V}$ 。（零向量的伸缩还是零向量）

证明

考虑到标量乘法对向量加法的分配律和零向量的性质会有

$a\cdot 0_{V}=a\cdot (0_{V}+0_{V})=a\cdot 0_{V}+a\cdot 0_{V}$

那取向量 $u\in V$ 为 $a\cdot 0_{V}$ 的向量加法逆元素，配上向量加法的结合律和单位元的定义会有

${\begin{aligned}0_{V}&=u+a\cdot 0_{V}\\&=u+(a\cdot 0_{V}+a\cdot 0_{V})\\&=(u+a\cdot 0_{V})+a\cdot 0_{V}\\&=0_{V}+a\cdot 0_{V}\\&=a\cdot 0_{V}\\\end{aligned}}$

故得证。$\Box$

定理 （4） — 对所有的向量 $u\in V$ ，若纯量 $0_{K}\in K$ 是域加法的单位元，则 $0_{K}\cdot u=0_{V}$ 。

证明

考虑到域 $K$ 自身的定义，还有标量乘法对域加法的分配律的话有

$0_{K}\cdot u=(0_{K}+0_{K})\cdot u=0_{K}\cdot u+0_{K}\cdot u$

那取向量 $w\in V$ 为 $0_{K}\cdot u$ 的向量加法逆元素，配上向量加法的结合律和单位元的定义会有

$0_{V}=w+0_{K}\cdot u=w+(0_{K}\cdot u+0_{K}\cdot u)=(w+0_{K}\cdot u)+0_{K}\cdot u=0_{V}+0_{K}\cdot u=0_{K}\cdot u$

故得证。$\Box$

定理 （5） — 对所有的向量 $u\in V$ 和标量 $a\in K$ ，如果 $a\cdot u=0_{V}$ ，则 $u=0_{V}$ 或 $a=0_{K}$ ( 其中 $0_{K}\in K$ 是域加法的单位元)。

证明

若 $K=\{0_{K}\}$ ，根据定理(3)本定理显然成立。下面只考虑 $K\neq \{0_{K}\}$ 的状况。

假设存在向量 $u\in V$ 和标量 $a\in K$ 满足 $u\neq 0_{V}$ 且 $a\neq 0_{K}$ ，但 $a\cdot u=0_{V}$ 。若以 $1_{K}\in K$ 表示域的乘法单位元，那根据其性质与和定义关于标量乘法单位元的部分会有

${\begin{aligned}u&=1_{K}\cdot u\\&=(a\times {\frac {1}{a}})\cdot u\end{aligned}}$

那再根据定义关于标量乘法与域乘法的部分，还有域乘法的交换律会有

${\begin{aligned}u&=(a\times {\frac {1}{a}})\cdot u\\&=({\frac {1}{a}}\times a)\cdot u\\&={\frac {1}{a}}\cdot (a\cdot u)\end{aligned}}$

那再套用定理(3)和前提假设会有

${\begin{aligned}u&={\frac {1}{a}}\cdot (a\cdot u)\\&={\frac {1}{a}}\cdot 0_{V}\\&=0_{V}\end{aligned}}$

这跟前提假设是矛盾的，所以根据反证法和德摩根定理，对所有向量 $u\in V$ 和所有标量 $a\in K$ ，只有可能“ $u=0_{V}$ 或 $a=0_{K}$ ”或“$a\cdot u\neq 0_{V}$”，但这段叙述正好等价于定理想证明的，故得证。$\Box$

定理 （6） — 如果 $-a\in K$ 是 $a\in K$ 的域加法逆元素，那对所有的向量 $u\in V$ ，$a\cdot u$ 的向量加法逆元素必为 $-a\cdot u$ 。

证明

以下设纯量 $0_{K}\in K$ 是域加法的单位元。

考虑到域 $K$ 自身的定义，还有标量乘法对域加法的分配律会有

$0_{K}\cdot u=(-a+a)\cdot u=-a\cdot u+a\cdot u$

$0_{K}\cdot u=[a+(-a)]\cdot u=a\cdot u+(-a)\cdot u$

然后考虑到前面的定理(4)，就有

$0_{V}=0_{K}\cdot u=-a\cdot u+a\cdot u$

$0_{V}=0_{K}\cdot u=a\cdot u+(-a)\cdot u$

然后考虑到定理(2)保证的逆元素唯一性，就可以知道向量 $a\cdot u$ 的加法逆元素必为 $-a\cdot u$ 。$\Box$

系理 — 如果 ${-1}_{K}\in K$ 是域加法单位元 $1_{K}\in K$ 的域加法逆元素，那对所有的向量 $u\in V$ ，其向量加法逆元素必为 ${-1}_{K}\cdot u$ 。

额外结构

研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：

• 一个实数或复数向量空间加上长度概念（就是范数）则成为赋范向量空间。
• 一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念则成为内积空间。
• 一个向量空间加上拓扑结构并满足连续性要求（加法及标量乘法是连续映射）则成为拓扑向量空间。
• 一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）则成为域代数。

例子

对一般域F，V记为F-向量空间。若F是实数域ℝ，则V称为实数向量空间；若F是复数域ℂ，则V称为复数向量空间；若F是有限域，则V称为有限域向量空间。

最简单的F-向量空间是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时，可以验证对任意实数a、b以及任意实数u、v、w，都有：

1. u + (v + w) = (u + v) + w，
2. v + w = w + v，
3. 零元素存在：零元素0满足：对任何的向量元素v，v + 0 = v，
4. 逆元素存在：对任何的向量元素v，它的相反数w = −v就满足v + w = 0。
5. 标量乘法对向量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w.
6. 向量乘法对标量加法满足分配律：(a + b)v = a v + b v.
7. 标量乘法与标量的域乘法相容：a(bv) =(ab)v。
8. 标量乘法有单位元：ℝ中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数v，1v = v。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点$P$都有一个坐标$P(x,y)$，并对应着一个向量$(x,y)$。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组$(x,y)$。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。

同样地，高维的欧几里得空间ℝⁿ也是向量空间的例子。其中的向量表示为$v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$，其中的$a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：

$\forall \lambda \in \mathbb {R} ,\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$， $v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})$ $\lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})$

可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合$\mathbb {R} [X]$。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，$\mathbb {R} [X]$也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合${\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

方程组与向量空间

向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：

$3x+2y-z=0$

$x+5y+2z=0$

如果$(x_{1},y_{1},z_{1})$和$(x_{2},y_{2},z_{2})$都是解，那么可以验证它们的“和”$(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$也是一组解，因为：

$3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0$

$(x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0$

同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：

$f''+4xf'+\cos(x)f=0$

出于和上面类似的理由，方程的两个解$f_{1}$和$f_{2}$的和函数$f_{1}+f_{2}$也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。

子空间基底

如果一个向量空间V的一个非空子集合W对于V的加法及标量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的线性子空间（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空间V自己，以及只包含0的子空间${0}$。

给出一个向量集合B，那么包含它的最小子空间就称为它的生成子空间，也称线性包络，记作span(B)。

给出一个向量集合B，若它的生成子空间就是向量空间V，则称B为V的一个生成集。如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称V是一个有限维空间。

可以生成一个向量空间V的线性独立子集，称为这个空间的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。对非零向量空间V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列：$\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\}$，那么空间中的每一个向量v便可以通过座标系统来呈现：

$v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots$

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个向量空间的所有基都拥有相同基数，称为该空间的维度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种实数向量空间：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ^∞,…中， ℝⁿ的维度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基$\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\}$，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：

$v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}$

那么v可以用数组$v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})$来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

$e_{1}=(1,0,\cdots ,0)$ $e_{2}=(0,1,\cdots ,0)$ $e_{n}=(0,0,\cdots ,1)$

可以证明，存在从任意一个n维的$\mathbf {F}$-向量空间到空间$\mathbf {F} ^{n}$的双射。这种关系称为同构。

线性映射

给定两个系数域都是F的向量空间V和W,定义由V到W的线性变换（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f：

$f:\,V\rightarrow W$ $\forall a\in F,u,v\in V,\,f(u+v)=f(u)+f(v),\,f(a\cdot v)=a\cdot f(v)$

所有线性变换的集合记为${\mathcal {L}}(V,W)$，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后，${\mathcal {L}}(V,W)$中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空间V和W之间的一个线性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之间存在同构，那么称这两个空间为同构的。如果向量空间V和W之间存在同构$f:\,V\rightarrow W$，那么其逆映射$g:\,W\rightarrow V$也存在，并且对所有的$x\in V,\,y\in W$，都有：

$g\circ f(x)=x,\,f\circ g(y)=y$

参考文献

• 《中国大百科全书》
• Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
• Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
• Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
• Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
• Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8