卢津定理

卢津（Лузин）定理是实分析的定理。约略来说，这定理指可测函数差不多是连续函数。

定理叙述

一维形式

设$f:[a,b]\to \mathbb {C}$是可测函数，对任何$\epsilon >0$，都存在紧致集$E\subset [a,b]$，使得$\lambda ([a,b]\setminus E)<\epsilon$，而且f限制到E上是连续函数。此处$\lambda$是勒贝格测度。

证明

因为f可测，所以在一个测度任意小的开集以外，f是有界函数。在开集上重定义f为0，那么f在[a,b]上有界，因而是可积函数。因为连续函数在可积函数的空间$\mathrm {L} ^{1}([a,b])$中稠密，存在连续函数序列$g_{i}$依L¹范数收敛至f，即$\int _{a}^{b}\left|g_{i}-f\right|\to 0$。故此有子序列$g_{i_{k}}$几乎处处收敛至f。从叶戈罗夫定理可知，除了一个测度任意小的开集外，$g_{i_{k}}$一致收敛至f。因为连续函数的一致收敛极限仍是连续的，故此f在此开集外连续。取E为以上两个开集的并集在[a,b]中的补集，那么原本的f在E上连续。

多维形式

设$\mu$是$\mathbb {R} ^{n}$上的正则博雷尔测度，$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$是$\mu$可测函数。X是$\mathbb {R} ^{n}$中的$\mu$可测集，而且$\mu (X)<\infty$，那么对任意$\epsilon >0$，X中存在紧致集K，使得$\mu (X\backslash K)<\epsilon$，而且f限制到K上是连续函数。

证明

首先，对每个正整数i，构造紧致集$K_{i}$和在其上的连续函数$g_{i}$，使得

$\mu (X\setminus K_{i})<\epsilon /2^{i}$

且在$K_{i}$上有

$\left|f(x)-g_{i}(x)\right|<1/i$

构造方法如下：

将$\mathbb {R} ^{m}$分成两两不交的博雷尔集$(Y_{ij})_{j=1}^{\infty }$，使得每个集的直径都小于1/i。函数f可测，所以每个集的原像$f^{-1}(Y_{ij})$是可测集。令$X_{ij}=X\cap f^{-1}(Y_{ij})$，则$X_{ij}$将X分成两两不交的可测集。

由于$\mu$是博雷尔正则测度，且$\mu (X)<\infty$，于是$\mu$限制到X上是拉东测度。由拉东测度的内正则性，在$X_{ij}$中存在紧致子集$K_{ij}$，使得

$\mu (X_{ij}\setminus K_{ij})<\epsilon /2^{i+j}$

所以全部子集$X_{ij}\setminus K_{ij}$的不交并集的测度

$\mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }K_{ij})<\epsilon /2^{i}$

因为$\mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }K_{ij})=\lim _{n\to \infty }\mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{n}K_{ij})$，可以取足够大的N使得

$\mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{N}K_{ij})<\epsilon /2^{i}$

令$K_{i}=\bigcap _{j=1}^{N}K_{ij}$。有限个紧致集的并集是紧致集，所以$K_{i}$紧致。因此$K_{i}$满足要求。

对j=1,..., N，在$Y_{ij}$中任取一点$y_{ij}$，并在$K_{ij}$上定义$g_{i}(x)=y_{ij}$。

因为在$K_{ij}$上，f的值包含在$Y_{ij}$中，故此f和$g_{i}$相差小于1/i。而$K_{ij}$是两两不交的紧致集，故两两间的距离都是正数，所以$g_{i}$在$K_{i}$上是连续函数。因此$g_{i}$满足要求。

取$K=\bigcap _{i=1}^{\infty }K_{i}$，K是紧致集，并有

$\mu (X\setminus K)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (X\setminus K_{i})<\epsilon$

函数列$g_{i}$在K上一致收敛到f。一致收敛保持函数的连续性，所以f在K上连续。

参考

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.