勒让德定理

勒让德定理指的是在正数$n!$的质因数分解中，质数$p$的指数记作$\nu _{p}(n!)$，则$\nu _{p}(n!)=\sum _{k\geq 1}\left\lfloor {n \over p^{k}}\right\rfloor$。有时这定理又以阿尔方·德·波利尼亚克为名而称为德·波利尼亚克公式（de Polignac's formula）。

背景

勒让德定理是由法国数学家勒让德发现证明的。

证明

若把$2,3,\cdots ,n$都分解成了标准分解式，则$\nu _{p}(n!)$就是这$n-1$个分解式中$p$的指数和。设其中$p$的指数为$r$的有$n_{r}$个($r\geq 1$)，则

${\begin{aligned}\nu _{p}(n!)&=n_{1}+2n_{2}+3n_{3}+...=\sum _{r\geq 1}rn_{r}\\&=(n_{1}+n_{2}+n_{3}+...)+(n_{2}+n_{3}+...)+(n_{3}+...)=N_{1}+N_{2}+N_{3}+...=\sum _{k\geq 1}N_{k}\end{aligned}}$

其中$N_{k}=n_{k}+n_{k+1}+...=\sum _{r\geq k}n_{r}$恰好是$2,3,\cdots ,n$这$n-1$个数中能被$p^{k}$除尽的数的个数，即$N_{k}=\left\lfloor {n \over p^{k}}\right\rfloor$得证。

其它表达式

将$n$以$p$为基底写做$n=n_{\ell }p^{\ell }+\cdots +n_{1}p+n_{0}$（进位制）

定义${\displaystyle s_{p}(n)=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}}$是$p$底数的数位和，则

$\nu _{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}.$

因此勒让德定理可以用来证明库默尔定理。

证明

$n=n_{\ell }p^{\ell }+\cdots +n_{1}p+n_{0}$

$\textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor =n_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n_{i+1}p+n_{i}$

${\begin{aligned}\nu _{p}(n!)&=\sum _{i=1}^{\ell }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor \\&=\sum _{i=1}^{\ell }\left(n_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n_{i+1}p+n_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{\ell }\sum _{j=i}^{\ell }n_{j}p^{j-i}\\&=\sum _{j=1}^{\ell }\sum _{i=1}^{j}n_{j}p^{j-i}\\&=\sum _{j=1}^{\ell }n_{j}\cdot {\frac {p^{j}-1}{p-1}}\\&=\sum _{j=0}^{\ell }n_{j}\cdot {\frac {p^{j}-1}{p-1}}\\&={\frac {1}{p-1}}\sum _{j=0}^{\ell }\left(n_{j}p^{j}-n_{j}\right)\\&={\frac {1}{p-1}}\left(n-s_{p}(n)\right).\end{aligned}}$