光线转换矩阵分析

光线转换矩阵分析(又称ABCD矩阵分析)，是用于某些光学系统，特别是雷射领域的一种光线追踪技术。它包含一个描述光学系统的光线转化矩阵(ray transfer matrix)，这个矩阵与一代表光线的向量相乘之后，可以得到光线在该系统中的运行轨迹。这类的分析也被应用于加速器物理(accelerator physics)中，用以追踪通过粒子加速器中磁铁装置的粒子，详情请见电子光学。

以下介绍的技术使用了近轴逼近法，此逼近法意即假设所有光线相对于系统的光轴(optical axis)都处于小角度(θ为径度)、短距离(x)。

定义

光线追踪技术以两个平面为参考面，分别为输入平面与输出平面，这两个平面均垂直于系统的光轴。此外，为了理论的一般性，我们定义系统的光轴即直角坐标系的z轴。一光线与输入面呈θ₁，从距离光轴 x₁ 的入射面进入系统，并在距光轴的x₂的输出面呈θ₂射出，而n₁, n₂分别是在输入面与输出面中介质的折射率。

这些参数可表成下列关系式:

${\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}$

当

$A={x_{2} \over x_{1}}{\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad B={x_{2} \over \theta _{1}}{\bigg |}_{x_{1}=0}$

且

$C={\theta _{2} \over x_{1}}{\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad D={\theta _{2} \over \theta _{1}}{\bigg |}_{x_{1}=0}$

这个关系式以光线转化矩阵(RTM, M)将光线向量与输入、输出面互相连结，M代表的是在这两个平面之间的光学系统。根据折射定律与几何关系，可以证明RTM行列式值(determinant)即是两个折射率的比值。

$\det(\mathbf {M} )=AD-BC={n_{1} \over n_{2}}$

因此，若是输入面与输出面在同一个介质中，或是在具有同一个折射率的不同介质中，M等于1，相似的技术可以应用于电路学上，见二埠网路。

范例

若两个面中有空间存在，光线转换矩阵可以表示成:

$\mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}$

其中d表示两参考平面的距离(沿著光轴测量)，此矩阵有下列关系:

${\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {S} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}$

两光线各别的参数可表示如下:

${\begin{matrix}x_{2}&=&x_{1}+d\theta _{1}\\\theta _{2}&=&\theta _{1}\end{matrix}}$

另一个范例为一薄透镜，其光线转画矩阵为:

$\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}$

其中f为透镜的焦距。若遇表示依复合光学系统，光线转化矩阵可以交互相乘，形成一总括光线转化矩阵，以下范例唯为一长度为d的空间与薄透镜的复合系统:

$\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}$

注意，矩阵的乘法并没有交换率，因此下面的系统先为一薄透镜，后为一空间。

$\mathbf {SL} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {d}{f}}&d\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}$

因此，矩阵必须照顺序排好。不同的矩阵可以代表不同折射率的介质，或者是面镜的反射等等。

光线转化矩阵表格

简易的光学元素

成分元素	矩阵	注解
传输在具有常数折射率的空间	${\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}$	d为传输距离
折射在平坦的表面	${\begin{bmatrix}1&0\\0&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{bmatrix}}$	n1 为入射时的环境折射率 n2 为折射后的环境折射率
折射在曲面	${\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{R\cdot n_{2}}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{bmatrix}}$	R 为曲率半径，当 R > 0 为凸面 n1 为入射时的环境折射率 n2 为折射后的环境折射率
从平坦面镜反射	${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$
从曲面镜反射	${\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {2}{R}}&1\end{bmatrix}}$	R 为曲率半径，当 R > 0 为凹面，可用于近轴近似法
薄透镜	${\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}$	f 为透镜的焦距， 当 f > 0 为凸透镜 唯有在焦距远大于透镜厚度时成立
厚透镜	${\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {n_{2}-n_{1}}{R_{2}n_{1}}}&{\frac {n_{2}}{n_{1}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&t\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{R_{1}n_{2}}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{bmatrix}}$	n1 为透镜外的折射率 n2 为透镜内的折射率 R1 为第一表面的曲率半径 R2 为第二表面的曲率半径 t 为透镜的中心厚度
单直角棱镜	${\begin{bmatrix}k&{\frac {d}{nk}}\\0&{\frac {1}{k}}\end{bmatrix}}$	k = (cos$\psi$/cos$\phi$) 是beam expansion的因素, 当$\phi$ 为入射角, $\psi$ 为折射角, d 为棱镜的路径长, n 为棱镜的折射率。 这个举证应用在orthogonal beam exit。

共振稳定性

RTM在模拟光学共振系统的时候特别有用，像是雷射。在最简单的情况下由两个完全相同，具100%反射率、曲率半径R相互距离为d的面镜组成。为了达到光学追踪的目的，上述的系统可以等同于由一系列焦距为R/2，彼此间的距离为d的薄透镜所组成的系统，此结构又被称为a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系统每一个波导下的RTM如下:

$\mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}$

光学转化矩阵分析此时就可以决定一个波导的稳定性(等同于共振器)，意即RTM可以找出光可以周期性地再聚焦，并待在波导内的状况。我们可以找到系统中所有光的”eigenrays”，入射向量在每个mentioned sections的波导乘上一个实数或是复数的 λ 将会等于1。 使得：

$\mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}$

此为一本征方程式：

$\left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0$

其中I为一2x2单位矩阵。 我们可以进一步计算此转化矩阵的本征值：

$\operatorname {det} \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0$

可导出以下特征方程式：

$\lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\operatorname {det} (\mathbf {M} )=0$

其中

$\operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{d \over f}$

是RTM的轨迹，且

$\operatorname {det} (\mathbf {M} )=AD-BC=1$

是RTM行列式值的倒数，带入消去后我们可以得到:

$\lambda ^{2}-2g\lambda +1=0$

其中

$g\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\operatorname {tr} (\mathbf {M} ) \over 2}=1-{d \over 2f}$

是稳定参数。本征值是本征方程式的解，由一元二次方程式可以解出:

$\lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}\,$

现在，考虑一个光线通过系统N次:

${\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}$

如果此波导是稳定的，所有的光都不会被随意的引道到偏离主轴很远的地方，意即λN必须是有限的。吾人假设g2>1，则两本征值均为实数，又因为λ*λ- = 1 ，因此其中一个的绝对值必须大于1，这也暗示了代表本征向量的光线不会收敛。因此在依稳定的波导中，g2≤1，以及本征值可以用复数形式表示:

$\lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi }$

以g=cos(φ)表示。

假设 $g^{2}<1$ 且 $r_{+}$, $r_{-}$是$\lambda _{+}$, $\lambda _{-}$的本征向量，此两向量横跨所有向量空间，因为他们是正交 因此输入的向量可以被表示成:

$c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-}$,

$c_{+}$ and $c_{-}$为某常数

再通过N个波导后，输出则为:

$\mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-}$

这代表一个周期函数。

高斯光束的光线转化矩阵

光线转化矩阵的建立也可以用于描述高斯光束(Gaussian beams)，若有一高斯光束波长为λ0，曲率半径为R，光点大小w，折射率n，我们可以定义出一复数光束参数(complex beam parameter) q:

${\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw^{2}}}$

此光束可以转移至一具有下列光线转化矩阵的光学系统:

${\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix}}$

其中k为标准化常数，此常数可以让光束向量的第二个成分为1，利用矩阵乘法:

$q_{2}=k(Aq_{1}+B)\,$

且

$1=k(Cq_{1}+D)\$

由上式除以下式可得:

$q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}$

此方程式常以倒数形式表示:

${1 \over q_{2}}={C+D/q_{1} \over A+B/q_{1}}$

范例：Free space

假设一光束通过一距离为d的空间，光线转化矩阵为: ${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}$ 因此

$q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}+d}{1}}=q_{1}+d$

这表示，通过一空间会增加半径d。

范例：薄透镜

假设一光束通过一焦距为f的薄透镜，光线转化矩阵为:

${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}}$

因此

$q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}}{-{\frac {q_{1}}{f}}+1}}$

${\frac {1}{q_{2}}}={\frac {-{\frac {q_{1}}{f}}+1}{q_{1}}}={\frac {1}{q_{1}}}-{\frac {1}{f}}$

再次强调，只有q的实部会被影响，曲率半径会减少1/f。

另见

• 传递矩阵法
• 几何光学

参考文献

• Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991.  Section 1.4, pp. 26 – 36.

• Gerrard, Anthony; Burch, James M. Introduction to matrix methods in optics. Courier Dover. 1994 [2015-01-22]. ISBN 9780486680446. （原始内容存档于2015-01-22）. 

• F. J. Duarte. Tunable Laser Optics. New York: Elsevier-Academic. 2003.  Chapter 6.

外部链接

• Thick lenses (Matrix methods)（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• ABCD Matrices Tutorial（页面存档备份，存于互联网档案馆） Provides an example for a system matrix of an entire system.
• ABCD Calculator（页面存档备份，存于互联网档案馆） An interactive calculator to help solve ABCD matrices.
• Simple Optical Designer (Android App)（页面存档备份，存于互联网档案馆） An application to explore optical systems using the ABCD matrix method.