佩尔方程

佩尔方程的动画

若一个丢番图方程具有以下的形式：

$x^{2}-ny^{2}=1$

且$n$为正整数，则称此二元二次不定方程为佩尔方程（英文：Pell's equation；德文：Pellsche Gleichung），以英国数学家约翰·佩尔命名。

若$n$是完全平方数，则这个方程式只有平凡解$(\pm 1,0)$（实际上对任意的$n$，$(\pm 1,0)$都是解）。对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有非平凡解。而这些解可由${\sqrt {n}}$的连分数求出。

佩尔方程的解

设${\tfrac {p_{i}}{q_{i}}}$ 是${\sqrt {n}}$的连分数表示：$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ]$的渐近分数列，由连分数理论知存在$i$使得(p_i,q_i)为佩尔方程的解。取其中最小的$i$，将对应的 (p_i,q_i)称为佩尔方程的基本解，或最小解，记作(x₁,y₁)，则所有的解(x_i,y_i)可表示成如下形式：

$x_{i}+y_{i}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{i}$。

或者由以下的递回关系式得到：

$\displaystyle x_{i+1}=x_{1}x_{i}+ny_{1}y_{i},$

$\displaystyle y_{i+1}=x_{1}y_{i}+y_{1}x_{i}$。

例子

标准型

$\displaystyle x^{2}-7y^{2}=1$。

首先根据根号7的渐进连分数表示，找出前几项，察看（分子，分母）是否是一组解。

第一项：${\tfrac {h}{k}}={\tfrac {2}{1}}$，$h^{2}-7k^{2}=-3,\,\!$不是解；

第二项：${\tfrac {h}{k}}={\tfrac {3}{1}}$，$h^{2}-7k^{2}=2,\,\!$不是解；

第三项：${\tfrac {h}{k}}={\tfrac {5}{2}}$，$h^{2}-7k^{2}=-3,\,\!$不是解；

第四项：${\tfrac {h}{k}}={\tfrac {8}{3}}$，$h^{2}-7k^{2}=1.\,\!$是解。于是最小解是(8,3)。计算$x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}$的各次乘方，或者用递推公式（不能直接得出某一项）就可以得到接下来的各组解

$x_{n}={\frac {(8+3{\sqrt {7}})^{n}+(8-3{\sqrt {7}})^{n}}{2}},y_{n}={\frac {(8+3{\sqrt {7}})^{n}-(8-3{\sqrt {7}})^{n}}{2{\sqrt {7}}}}$

(x,y)=(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151,3096720)、 (130576328,49353213) ......

非标准型

• 对于方程$x^{2}-ny^{2}=k$，利用婆罗摩笈多-斐波那契恒等式找出方程解。

$(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}=(x_{1}x_{2}-Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}$

例如$x^{2}-7y^{2}=2$有解(3,1)。

$r^{2}-7s^{2}=1$时，有$2=(3r+7s)^{2}-7(3s+r)^{2}=(3r-7s)^{2}-7(3s-r)^{2}$

(r,s)=(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151,3096720)、 (130576328,49353213) ......

(x,y)=(3,1)、 (45,17)、 (717,271)、 (11427,4319)、 (182115,68833)、 (2902413,1097009)、 (46256493,17483311) ......

• 对于方程$ax^{2}-by^{2}=c$，两边乘上a，求出$(ax)^{2}-aby^{2}=ac$的解。

例如$5x^{2}-2y^{2}=3$有解(1,1)。

设$z=5x$，$(5x)^{2}-10y^{2}=z^{2}-10y^{2}=15$

$r^{2}-10s^{2}=1$时，有$15=(5r+10s)^{2}-10(5s+r)^{2}=(5r-10s)^{2}-10(5s-r)^{2}$

(r,s)=(19,6)、 (721,228)、 (27379,8658)、 (1039681,328776)、 (39480499,12484830) ......

(z,y)=(5,1)、 (35,11)、 (155,49)、 (1325,419)、 (5885,1861)、 (50315,15911)、 (223475,70669) ......

(x,y)=(1,1)、 (7,11)、 (31,49)、 (265,419)、 (1177,1861)、 (10063,15911)、 (44695,70669) ......

与代数数论的联系

佩尔方程与代数数理论有紧密联系，因为公式$x^{2}-ny^{2}=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})$给出了环$\mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$（即二次域$\mathbb {Z} ({\sqrt {n}})$）上的范数。因此(x,y)是佩尔方程的解当且仅$x+y{\sqrt {n}}$的范数是一，即是域上的一个单元。根据狄利克雷单位定理，$\mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$的所有单元都可以表示为同一个基本单元的乘方形式。这就是说一个佩尔方程的所有的解都是一个基本解的乘方。单元总可以通过解一个类似佩尔方程而得到，但这时的基本解并不一定就是基本单元。

与切比雪夫多项式的联系

佩尔方程和切比雪夫多项式有内在的联系：若T_i (x)和U_i (x)分别是第一类和第二类切比雪夫多项式的相应项，那么它们是佩尔形式方程$T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1$的解。于是第一类和第二类切比雪夫多项式可以通过展开基本解的乘方得到。

$T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}$。

进一步有：如果(x_i,y_i)是佩尔方程的第i个解，那么

x_i = T_i (x₁)

y_i = y₁U_{i - 1}(x₁)。

佩尔方程的最小解

n	x	y	n	x	y	n	x	y	n	x	y
1	-	-	33	23	4	65	129	16	97	62809633	6377352
2	3	2	34	35	6	66	65	8	98	99	10
3	2	1	35	6	1	67	48842	5967	99	10	1
4	-	-	36	-	-	68	33	4	100	-	-
5	9	4	37	73	12	69	7775	936	101	201	20
6	5	2	38	37	6	70	251	30	102	101	10
7	8	3	39	25	4	71	3480	413	103	227528	22419
8	3	1	40	19	3	72	17	2	104	51	5
9	-	-	41	2049	320	73	2281249	267000	105	41	4
10	19	6	42	13	2	74	3699	430	106	32080051	3115890
11	10	3	43	3482	531	75	26	3	107	962	93
12	7	2	44	199	30	76	57799	6630	108	1351	130
13	649	180	45	161	24	77	351	40	109	158070671986249	15140424455100
14	15	4	46	24335	3588	78	53	6	110	21	2
15	4	1	47	48	7	79	80	9	111	295	28
16	-	-	48	7	1	80	9	1	112	127	12
17	33	8	49	-	-	81	-	-	113	1204353	113296
18	17	4	50	99	14	82	163	18	114	1025	96
19	170	39	51	50	7	83	82	9	115	1126	105
20	9	2	52	649	90	84	55	6	116	9801	910
21	55	12	53	66249	9100	85	285769	30996	117	649	60
22	197	42	54	485	66	86	10405	1122	118	306917	28254
23	24	5	55	89	12	87	28	3	119	120	11
24	5	1	56	15	2	88	197	21	120	11	1
25	-	-	57	151	20	89	500001	53000	121	-	-
26	51	10	58	19603	2574	90	19	2	122	243	22
27	26	5	59	530	69	91	1574	165	123	122	11
28	127	24	60	31	4	92	1151	120	124	4620799	414960
29	9801	1820	61	1766319049	226153980	93	12151	1260	125	930249	83204
30	11	2	62	63	8	94	2143295	221064	126	449	40
31	1520	273	63	8	1	95	39	4	127	4730624	419775
32	17	3	64	-	-	96	49	5	128	577	51