传播子

在量子力学以及量子场论中的传播子（propagator；核子，kernel），是描述粒子在特定时间由一处移动到另一处的机率幅，或是粒子以特定能量及动量移动的机率幅。传播子也是场的运动方程的格林函数。物理学家使用核子计算费曼图以及散射过程的概率。

量子力学

自由粒子（波包）的核子是

$K(x,x';t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }dk\,e^{ik(x-x')}e^{-i\hbar k^{2}t/(2m)}=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{1/2}e^{-m(x-x')^{2}/(2i\hbar t)}~.$

量子谐振子的Mehler核子

$K(x,x';t)=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega t}}\right)^{1/2}\exp \left(-{\frac {m\omega ((x^{2}+x'^{2})\cos \omega t-2xx')}{2i\hbar \sin \omega t}}\right)~.$

通过泛函积分，核子等于

$K(x,x';t,t')=\int Dx(t)\ \exp(i\int _{t}^{t'}L(x,{\dot {x}};t)\ dt)$

$x(t)=x,\ x(t')=x'$

L是拉氏量。

量子场论

克莱因-戈尔登方程

克戈场论（Klein-Gordon）的Feynman传播子

${\tilde {G}}_{F}(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}.$

据黄教授说，这是

$G_{\mathrm {F} }(x,y)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}={\begin{cases}-{\dfrac {1}{4\pi }}\delta (s)+{\dfrac {m}{8\pi {\sqrt {s}}}}H_{1}^{(1)}(m{\sqrt {s}})&{\text{ if }}s\geq 0\\-{\dfrac {im}{4\pi ^{2}{\sqrt {-s}}}}K_{1}(m{\sqrt {-s}})&{\text{if}}s<0.\end{cases}}$

H是汉克尔函数，K是贝塞尔函数，δ是狄拉克δ函数，$s^{2}=x^{\mu }x_{\mu }$。

Feynman传播子使用下面的曲线积分（contour integral，留数定理）

Feynman传播子也等于下面的真空期望值：

$G_{F}(x-y)=-i\langle 0|T\phi (x)\phi (y)|0\rangle$

$=-i\langle 0|\theta (x^{0}-y^{0})\phi (x)\phi (y)+\theta (y^{0}-x^{0})\phi (y)\phi (x)|0\rangle$

上面T是路径排序算子，$\theta$是单位阶跃函数。

狄拉克方程

${\tilde {S}}_{F}(p)={1 \over \gamma ^{\mu }p_{\mu }-m+i\epsilon }={1 \over p\!\!\!/-m+i\epsilon }.$

$S_{F}(x-y)=\int {{d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\,e^{-ip\cdot (x-y)}}\,{(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m) \over p^{2}-m^{2}+i\epsilon }=\left({\gamma ^{\mu }(x-y)_{\mu } \over |x-y|^{5}}+{m \over |x-y|^{3}}\right)J_{1}(m|x-y|).$

传播子也是格林函数

$S_{F}(x-y)=(i\partial \!\!\!/+m)G_{F}(x-y)$

这描述费米子、电子。

量子电动力学和其他杨-米尔斯场论

主条目：规范场论

光子传播子是

${-ig^{\mu \nu } \over p^{2}+i\epsilon }.$

${\frac {g_{\mu \nu }-k_{\mu }k_{\nu }/m^{2}}{k^{2}-m^{2}+i\epsilon }}+{\frac {k_{\mu }k_{\nu }/m^{2}}{k^{2}-m^{2}/\lambda +i\epsilon }}.$

$D_{\mu \nu }(k)={\frac {-i}{k^{2}+i\epsilon }}(g_{\mu \nu }-(1-\xi ){\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}})$

也阅读FP鬼子，给予胶子传播子或杨米尔斯传播子：

$\langle A_{\mu }^{a}(x)A_{\nu }^{b}(y)\rangle =D_{\mu \nu }(x-y)^{ab}=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-ie^{-ik(x-y)}}{k^{2}+i\epsilon }}\delta ^{ab}(g_{\mu \nu }-(1-\xi ){\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}})$

选择$\xi$ 需要规范固定。

引力子

重力子的传播子是

$G_{abcd}(k)={\frac {g_{ac}g_{bd}+g_{bc}g_{ad}-g_{ab}g_{cd}}{k^{2}}}$

相关条目

• 量子场论
• 格林函数
• 路径积分表述
• 费恩曼图

阅读

• Feynman Hibbs. Path integrals.
• Peskin Schroeder. Intro QFT.
• Huang. QFT.
• https://web.physics.ucsb.edu/~mark/ms-qft-DRAFT.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆） （页面存档备份，存于互联网档案馆）（Srendiecki QFT）
• 徐一鸿 Anthony Zee. QFT in Nutshell.