下限拓扑

数学上，下限拓扑是定义在实数集 $\mathbb {R}$ 上的拓扑。其不同于 $\mathbb {R}$ 上的标准拓扑（由开区间生成），且具有若干有趣的性质。其为全体半开区间 [a,b) 组成的基生成的拓扑，其中 a 和 b 取遍任意实数。

这样得到的拓扑空间称为Sorgenfrey直线（得名自 Robert Sorgenfrey）或箭头，有时记为 $\mathbb {R} _{l}$. 与康托集和长直线类似，Sorgenfrey 直线也经常作为点集拓扑学中不少似是而非的命题的反例。

$\mathbb {R} _{l}$ 与自身的积也是有用的反例，称为Sorgenfrey平面。

类似地，可以定义 $\mathbb {R}$ 上的上限拓扑，其性质与下限拓扑完全相同。

性质

• 下限拓扑比实数集的标准拓扑更精细（具有更多开集）。原因是每个开区间都可写成半开区间的可数并，故在下限拓扑中也是开集。
• 对任意实数 $a$ 和 $b$, 区间 $[a,b)$ 都是 $\mathbb {R} _{l}$ 的闭开集（既是开集，也是闭集）。而且，对任意实数 $a$, 集合 $\{x\in \mathbb {R} :x<a\}$ 和 $\{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}$ 皆为闭开集。故 $\mathbb {R} _{l}$ 为完全不连通空间。
• $\mathbb {R} _{l}$ 的紧子集只能是可数集（允许是有限集）。要证明此结论，考虑非空紧集 $C\subseteq \mathbb {R} _{l}$. 取定 $x\in C$, 考虑 $C$ 的开覆盖：

${\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.$

由于 $C$ 为紧，此开覆盖具有有限子覆盖，故存在实数 $a(x)$ 使得区间 $(a(x),x]$ 不含 $C$ 除 $x$ 以外的点。这对任意 $x\in C$ 为真。现选取有理数 $q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb {Q}$. 对不同的 $x\in C$, 区间 $(a(x),x]$ 两两不交，故函数 $q:C\to \mathbb {Q}$ 为单射，故 $C$ 至多可数。

• “下限拓扑”得名自以下性质：$\mathbb {R} _{l}$ 中的序列（或网）$(x_{\alpha })$ 收敛到 $L$ 当且仅当其“从右接近 $L$”，即对任意的 $\epsilon >0$ ，均存在下标 $\alpha _{0}$ 使得 $\forall \alpha \geq \alpha _{0}:L\leq x_{\alpha }<L+\epsilon$. $\mathbb {R} _{l}$ 因此可用于研究单侧极限：对函数 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $f$ 于 $x$ 之右极限（假定陪域具有标准拓扑），等于定义域在下限拓扑下 $f$ 于 $x$ 之一般极限。
• 就分离公理而言， $\mathbb {R} _{l}$ 是完美正规豪斯多夫空间（T₆ 空间）。
• 就可数性公理而言， $\mathbb {R} _{l}$ 是第一可数空间和可分空间，但并非第二可数空间。
• 就紧致性而言，$\mathbb {R} _{l}$ 是林德勒夫空间和仿紧空间，但并非σ-紧空间，也不是局部紧空间。
• $\mathbb {R} _{l}$ 不可度量化，因为可分的度量空间必为第二可数。然而，$\mathbb {R} _{l}$ 的拓扑是由一个预度量给出。
• $\mathbb {R} _{l}$ 是一个贝尔空间 。

参考资料

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446