Verma模

Verma模（Verma module）是李代数表示理论中的基本研究对象，其名取自Daya-Nand Verma。Verma模之间的态射相应于旗流形上的不变微分算子。

可用Verma模来证明以下命题：最高权为 $\lambda$ 的最高权表示的维数有限，若且仅若 $\lambda$ 是支配整权（dominant integral weight）。

Verma模的定义

设：

$F$ 为一域；
${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ，为 $F$ $F$ 上一半单李代数；
- ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ 为其泛包络代数
- ${\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {b}}$ 为其一Borel子代数
  - ${\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})$ 为其泛包络代数
- ${\mathfrak {h}}$ 为其一嘉当子代数
$\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$ 为一固定之权。
$F_{\lambda }$ 为 $F$ 上的一维向量空间，赋与 ${\mathfrak {b}}$ -模结构： ${\mathfrak {h}}$ 的作用为“乘以 $\lambda$ ”，正根的作用为零。由于 $F_{\lambda }$ 是一左 ${\mathfrak {b}}$ －模，他同时亦是一左 ${\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})$ －模。
由Poincaré-Birkhoff-Witt定理， ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ 有一自然右 ${\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})$ －模结构。由于 ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ 亦是一左 ${\mathfrak {g}}$ －模，所以是 $({\mathfrak {g}},{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}}))$ -双模。
定义（最高权为 $\lambda$ 之）Verma模 为

M_{\lambda }={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\otimes _{{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }

此自然地是一左 ${\mathfrak {g}}$ －模。从Poincaré-Birkhoff-Witt定理可知： $M_{\lambda }$ ，作为一向量空间，同构于

{\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}_{-})\otimes _{F}F_{\lambda }

其中 ${\mathfrak {g}}_{-}$ 为 ${\mathfrak {g}}$ 之负根生成之子李代数。

基本性质

作为 ${\mathfrak {g}}$ －模，Verma模是一最高权表示，即整个模由一最高权向量生成。此最高权向量是 $1\otimes 1$ 的像（其中前 $1$ 为 ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ 之单位，后 $1$ 为域 $F$ 之单位元）；其权为 $\lambda$ 。

Verma模是weight modules，即 $M_{\lambda }$ 是其权子空间之直和。每一权子空间 $M_{\mu }$ 是有限维的，其维度是 $M_{\mu }$ 权 $\lambda -\mu$ 写成正根之和之方法之数（参见Kostant partition function）。

Verma模有一重要性质：若 $V$ 为任一最高权模，其最高权为 $\lambda$ ，则存在一 ${\mathfrak {g}}$ 满射： $M_{\lambda }\to V$ 。换言之，任何最高权模都是 $M_{\lambda }$ 的商模。

$M_{\lambda }$ 内存在唯一极大子模，而 $M_{\lambda }$ 与此子模之商是不可约的。

Verma模 $M_{\lambda }$ 本身不可约若且仅若当其最高权 $\lambda$ 分解成基本权（fundamental weight（英语：fundamental weight））之和时，每一系数都不是 $\{0,1,2,\ldots \}$ 。

称Verma模 $M_{\lambda }$ 为regular，若其最高权λ位于一支配权 ${\tilde {\lambda }}$ 之仿射Weyl轨迹上。换言之，存在Weyl群的元素w，使

\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}

，

其中 $\cdot$ 是Weyl群的仿射作用。

称Verma模 $M_{\lambda }$ 为singular，若λ的仿射轨迹上无支配权。此时，存在权 ${\tilde {\lambda }}$ 使 ${\tilde {\lambda }}+\delta$ 落于基本Weyl室之墙上；（其中δ为各基本权之和）。

Verma模之间的态射

设 $\lambda ,\mu$ 为两权。若存在态射

M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }

，

则 ${\mathfrak {g}}$ 的Weyl群 $W$ 的仿射作用 $W$ 必然能把 $\mu$ 带到 $\lambda$ 。此为Harish-Chandra无限小中心特征标定理之一推论。

每一Verma模态射都是单射。态射空间之维度

dim(Hom(M_{\mu },M_{\lambda }))\leq 1

其中 $\mu ,\lambda$ 为任何两权。因此，存在一非零态射 $M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }$ 若且仅若 $M_{\mu }$ 同构于 $M_{\lambda }$ 的一（唯一）子模。

Verma模态射的完整分类来自I.N.伯恩斯坦、I.M.盖尔芳特与S.I.盖尔芳特的工作^[1]与N. Verma的工作^[2]。简言之，

存在非零态射
$M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }$ 若且仅若存在一串权

$\mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda$
使得存在正根 $\gamma _{i}$ 使 $\nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )$ （其中 $s_{\gamma _{i}}$ 是根反映（根系），而 $\delta$ 是所有基本权之和）且对每一 $1\leq i\leq k$ ， $(\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})$ 为一自然数（其中 $H_{\gamma _{i}}$ 是根 $\gamma _{i}$ 之对偶根（coroot（英语：coroot）））。

若Verma模 $M_{\mu }$ 与 $M_{\lambda }$ 俱为regular，则仅存支配权 ${\tilde {\lambda }}$ 与Weyl群元w, w′使

P

\mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}

而且

\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},

其中 $\cdot$ 为Weyl群的仿射作用。设此等权是整权（integral weight（英语：integral weight））。存在非零态射

M_{\mu }\to M_{\lambda }

若且仅若，在Weyl群W 的Bruhat次序中，

w\leq w'

。

Jordan-Holder序列

设

0\subset A\subset B\subset M_{\lambda }

为一 ${\mathfrak {g}}$ －模序列，其中B/A为不可约表示，其最高权为μ。则存在非零态射 $M_{\mu }\to M_{\lambda }$ 。

推论：设 $V_{\mu },V_{\lambda }$ 为二最高权表示。若

V_{\mu }\subset V_{\lambda }

则存在非零态射 $M_{\mu }\to M_{\lambda }$ 。

伯恩斯坦-盖尔芳特-盖尔芳特分解

设 $V_{\lambda }$ 为李代数 ${\mathfrak {g}}$ 的一有限维不可约表示，其最高权为λ。我们已知：存在非零态射

M_{w'\cdot \lambda }\to M_{w\cdot \lambda }

若且仅若，在其Weyl群的Bruhat次序中，

w\leq w'

。

以下定理描述如何分解 $V_{\lambda }$ 成Verma模的正合序列。（此定理出现于伯恩斯坦-盖尔芳特-盖尔芳特1975年的论文^[3]）:

存在由 ${\mathfrak {g}}$ －态射组成的正合序列

$0\to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=n}M_{w\cdot \lambda }\to \ldots \to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=2}M_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=1}M_{w\cdot \lambda }\to M_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0$

其中n为Weyl群最长元之长度。

一般研究员简称其为“BGG分解”。广义Verma模亦有类似分解。

近来有人研究此等分解之某些特例，以助理解抛物几何（parabolic geometries（英语：parabolic geometries），嘉当几何之特例）上之不变微分算子。嘉当几何的定义依赖于一李群G与其抛物子群P。参阅^[4]、^[5]与^[6]。

参考

Knapp, A. W. Lie Groups Beyond an troduction. Second Edition. (2002), page 285.
Dixmier, J., Enveloping Algebras, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1977
Humphreys J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, 1980
Roggenkamp K., Stefanescu M., Algebra - Representation Theory, Springer, 2002

注解

^ Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Structure of Representations that are generated by vectors of highest weight, Functional. Anal. Appl. 5 (1971)
^ Verma N., Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras}, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968)
^ Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Differential Operators on the Base Affine Space and a Study of g-Modules, Lie Groups and Their Representations, I. M. Gelfand, Ed., Adam Hilger, London, 1975.}
^ Eastwood M., Variations on the de Rham complex, Notices Amer. Math. Soc, 1999 - ams.org
^ Calderbank D.M., Diemer T., Differential invariants and curved Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001158, 2000 - arxiv.org
^ Cap A., Slovak J., Soucek V., Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001164, 2000 - arxiv.org

参见

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[1] Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Structure of Representations that are generated by vectors of highest weight, Functional. Anal. Appl. 5 (1971)

[2] Verma N., Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras}, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968)

[3] Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Differential Operators on the Base Affine Space and a Study of g-Modules, Lie Groups and Their Representations, I. M. Gelfand, Ed., Adam Hilger, London, 1975.}

[4] Eastwood M., Variations on the de Rham complex, Notices Amer. Math. Soc, 1999 - ams.org

[5] Calderbank D.M., Diemer T., Differential invariants and curved Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001158, 2000 - arxiv.org

[6] Cap A., Slovak J., Soucek V., Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001164, 2000 - arxiv.org

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Verma模的定义

基本性质

Verma模之间的态射

Jordan-Holder序列

伯恩斯坦-盖尔芳特-盖尔芳特 分解

参考

注解

参见

伯恩斯坦-盖尔芳特-盖尔芳特分解