讨论:克莱因瓶

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删除的侵权内容

--222.76.51.33 (留言) 2009年11月15日 (日) 19:36 (UTC)[回复]

注：以上用户的讨论留言是其从正文中删除的侵权内容，我认为侵权内容同样不应该存在于讨论页，故删除。 EdiTurn（留言） 2013年5月29日 (三) 20:58 (UTC)[回复]

参数方程的参数取值范围是什么？

当前版本给出了克莱因瓶的一个参数方程（“还有一个较简单的”）：

${\begin{aligned}&x(u,v)=\cos u(\cos {\frac {u}{2}}({\sqrt {2}}+\cos v)+\sin {\frac {u}{2}}\sin v\cos v)\\&y(u,v)=\sin u(\cos {\frac {u}{2}}({\sqrt {2}}+\cos v)+\sin {\frac {u}{2}}\sin v\cos v)\\&z(u,v)=-\sin {\frac {u}{2}}({\sqrt {2}}+\cos v)+\cos {\frac {u}{2}}\sin v\cos v\end{aligned}}$

但是， $u,v$ 两个参数的取值范围是什么呢？我用 $\pi$ 的倍数乱试了几次，并不能画出一个像常见的克莱因瓶的样子的曲面。这个参数方程大概是在这次更改中被匿名用户引入的，因此我无法联系到原作者。

附Mathematica绘图代码方便试验（当前的参数范围 $[0,2\pi ]^{2}$ 画出来像半个核桃仁）：

kx[u_, v_] := Cos[u] (Cos[u/2] (Sqrt[2] + Cos[v]) + Sin[u/2] Sin[v] Cos[v])

ky[u_, v_] := Sin[u] (Cos[u/2] (Sqrt[2] + Cos[v]) + Sin[u/2] Sin[v] Cos[v])

kz[u_, v_] := -Sin[u/2] (Sqrt[2] + Cos[v]) + Cos[u/2] Sin[v] Cos[v]

ParametricPlot3D[{kx[u, v], ky[u, v], kz[u, v]}, {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, 2 Pi}]—以上未签名的留言由Snowonion（对话｜贡献）于2019年2月4日 (一) 04:46 (UTC)加入。[回复]

如果从u=v=0开始，参数方程只有在到了u=4π和v=2π时才会回归到原来的数值。所以参数范围是u=0...4π和v=0...2π。用你的代码画出的图是一个拓扑意义上的克莱因瓶。选择这个代码，是因为它的式子比较简单，尽管它看起来不像最广为人知的样子。钢琴小子 2019年2月6日 (三) 22:51 (UTC)[回复]