Rayleigh-Plesset方程式

Rayleigh–Plesset方程式经常应用于研究空穴现象中的气泡, 照片显示的是运动中的螺旋桨产生的气泡

在流体力学中，Rayleigh–Plesset方程 是一个用来描述在无限体积的液体中球型气泡的动力学特征的常微分方程。 它以瑞利男爵（John Strutt, 3rd Baron Rayleigh）和 Milton S. Plesset命名。 它通常被写作

${\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}$

其中

$P_{B}(t)$ 为气泡内压强, 假设压强均匀一致不随空间变化

$P_{\infty }(t)$ 为距气泡无限远的气泡外的压强

$\rho _{L}$ 为周围液体的密度，假设为常量且不变化

$R(t)$ 为气泡的半径

$\nu _{L}$ 为周围液体的运动黏度，假设为常量且不变化

$S$ 为气泡的表面张力

若 $P_{B}(t)$ 已知并且 $P_{\infty }(t)$ 的值被给出, Rayleigh–Plesset方程可以用作解决随时间变化的气泡半径的长度 $R(t)$.

Rayleigh–Plesset方程是由纳维-斯托克斯方程推导出来的，假设其球对称性成立。

历史

这个方程最早是由 W. H. Besant 在 1859 年推倒出来的。一个没有作用力的均匀不可压缩流体处于静止状态,忽略表面张力和黏性，而流体间突然产生一球型气泡。距离气泡中心无限远的压力应该保持不变。考虑到气泡内的压力变化, Besant 预测填充空腔所需的时间。

${\begin{aligned}t&=a\left({\frac {6\rho }{p_{\infty }}}\right)^{1/2}\int _{0}^{1}{\frac {z^{4}\,dz}{\sqrt {1-z^{6}}}}\\&=a\left({\frac {\pi \rho }{6p_{\infty }}}\right)^{1/2}{\frac {\Gamma (5/6)}{\Gamma (4/3)}}\\&\approx 0.91468a\left({\frac {\rho }{p_{\infty }}}\right)^{1/2}\end{aligned}}$

约翰·斯特拉特(第三代瑞利男爵)于 1917 从能量平衡得出了方程式。瑞利也意识到，随着半径的减小，气泡内压力为定值的假设是错误的，使用波义耳定律指出，如果气泡的体积减小了一半，压力会增加一倍，气泡边界附近的压力将大于环境压力。1949 年，Milton S. Plesset 第一次应用于气泡现象。