K-L变换

K-L变换（英语：Karhunen-Loève Transform）是建立在统计特性基础上的一种变换，它是均方差（MSE, Mean Square Error）意义下的最佳变换，因此在资料压缩技术中占有重要的地位。

K-L变换名称来自Kari Karhunen和Michel Loève。

K-L变换是对输入的向量x，做一个正交变换，使得输出的向量得以去除数据的相关性。

然而，K-L变换虽然具有均方差(MSE)意义下的最佳变换，但必须事先知道输入的讯号，并且需经过一些繁杂的数学运算，例如协方差(covariance)以及特征向量(eigenvector)的计算。因此在工程实践上K-L变换并没有被广泛的应用，不过K-L变换是理论上最佳的方法，所以在寻找一些不是最佳、但比较好实现的一些变换方法时，K-L变换能够提供这些变换性能的评价标准。

以处理图片为范例，在K-L变换途中，图片的能量会变得集中，有助于压缩图片，但是实际上，KL转算为input-dependent，即需要对每张输入图片存下一个变换机制，每张图都不一样，这在实务应用上是不实际的。

原理

KL变换属于正交变换，其处输入讯号的原理如下：

对输入向量$\mathbf {x}$做KL传换后，输出向量$\mathbf {X}$之元素间($u_{1}\neq u_{2}$, $u_{1}$和$u_{2}$为$\mathbf {X}$之元素的index)的相关性为零，即：$E[(X[u_{1}]-{\bar {X}}[u_{1}])(X[u_{2}]-{\bar {X}}[u_{2}])]=0$

展开上式并做消去：

$E[X[u_{1}]X[u_{2}]]-{\bar {X}}[u_{1}]{\bar {X}}[u_{2}]=0$

如果${\bar {x}}[n]=0$，因为KL变换式线性变换的关系，${\bar {X}}[n]=0$，则可以达成以下式，所以这里得输入向量$\mathbf {x}$之平均值${\bar {x}}$需为$0$，所以KLT是专门用于随机程序的分析：

$E[X[u_{1}]X[u_{2}]]=0$

其中$u_{1}\neq u_{2}$，即输出向量不同元素相关性为$0$。

回到矩阵表示形式，令$\mathbf {K}$为KL变换矩阵，使：

$\mathbf {X} =\mathbf {Kx}$

以$\mathbf {K}$和$\mathbf {x}$表示$\mathbf {X}$之covariance矩阵：

$E[\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}]=E[\mathbf {K} \mathbf {x} \mathbf {x} ^{T}\mathbf {K} ^{T}]=\mathbf {K} E[\mathbf {x} \mathbf {x} ^{T}]\mathbf {K} ^{T}$

因为${\bar {x}}[n]=0$，$E[\mathbf {x} \mathbf {x} ^{T}]$直接等于covariance矩阵：

$E[\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}]=\mathbf {K} \mathbf {C} \mathbf {K} ^{T}$

其中$\mathbf {C}$为$\mathbf {x}$之covariance矩阵。

如果要使$E[X[u_{1}]X[u_{2}]]=0$，则$E[\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}]$必须为对角线矩阵，即对角线上之值皆为$0$，所以$\mathbf {K}$必须将传换成对角线矩阵，即$\mathbf {K}$的每一行皆为$\mathbf {C}$之特征向量。

K-L变换的目的是将原始数据做变换，使得变换后资料的相关性最小。若输入数据为一维：

$y[u]=\sum _{n=0}^{N-1}K[u,n]x[n]$

$K[u,n]=e_{n}[n]$

其中e_n为输入讯号x协方差矩阵(covariance matrix)C_x的特征向量(eigenvector)

若输入讯号x为二维：

$y[u,v]=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}K[u,m]K[v,m]x[m,n]$

与离散余弦变换的关系

二维之K-L变换推导系自原先输入信号之自协方矩阵

$C_{x_{i}x_{j}}=E[x_{i},x_{j}]$

亦即

$C_{x_{i}x_{j}}={\begin{bmatrix}E[x_{1},x_{1}]&E[x_{1},x_{2}]&E[x_{1},x_{3}]&\dots &E[x_{1},x_{j}]&\dots &E[x_{1},x_{N}]\\E[x_{2},x_{1}]&E[x_{2},x_{2}]&E[x_{2},x_{3}]&\dots &E[x_{2},x_{j}]&\dots &E[x_{2},x_{N}]\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\E[x_{i},x_{1}]&E[x_{i},x_{2}]&E[x_{i},x_{3}]&\dots &E[x_{i},x_{j}]&\dots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\E[x_{M},x_{1}]&E[x_{M},x_{2}]&E[x_{M},x_{3}]&\dots &E[x_{M},x_{j}]&\dots &E[x_{M},x_{N}]\end{bmatrix}}$

而得，此处假设输入信号x已经先减去平均值。

而当输入彼此具高度相关性，如影像等，则可假设其在水平与垂直方向上得以被分离，并以水平与垂直之相关系数$\rho _{H},\rho _{V}$加以表示

假设$x_{i}$ 与 $x_{j}$ 之水平和垂直距离分别为$h,v$

则 $E[x_{i},x_{j}]=\rho _{H}^{h}\cdot \rho _{V}^{v}$

以一3x2之输入 $X={\begin{bmatrix}x1&x2&x3\\x4&x5&x6\end{bmatrix}}$ 为例

此时 $C_{x_{i}x_{j}}={\begin{bmatrix}1&\rho _{H}&\rho _{H}^{2}&\rho _{V}&\rho _{H}\rho _{V}&\rho _{H}^{2}\cdot \rho _{V}\\\rho _{H}&1&\rho _{H}&\rho _{H}\rho _{V}&\rho _{V}&\rho _{H}\rho _{V}\\\rho _{H}^{2}\rho _{V}&\rho _{H}&1&\rho _{H}^{2}\rho _{V}&\rho _{H}\rho _{V}&\rho _{V}\\\rho _{V}&\rho _{H}\rho _{V}&\rho _{H}^{2}\rho _{V}&1&\rho _{H}&\rho _{H}^{2}\\\rho _{H}\rho _{V}&\rho _{V}&\rho _{H}\rho _{V}&\rho _{H}&1&\rho _{H}\\\rho _{H}^{2}\rho _{V}&\rho _{H}\rho _{V}&\rho _{V}&\rho _{H}^{2}&\rho _{H}&1\end{bmatrix}}$

而对于任意尺寸的水平或垂直方向之协方差矩阵可以表示成

$C_{xx}={\begin{bmatrix}\rho &\rho ^{2}&\dots &\rho ^{N-1}\\\rho ^{2}&\rho &\dots &\rho ^{N-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\rho ^{N-1}&\rho ^{N-2}&\dots &\rho \end{bmatrix}}$

可发现其值仅与 $|i-j|$ 有关，取其闭合形式，其基底元素$v_{ij}$ 为

$v_{ij}={\sqrt {\frac {2}{N+\lambda _{j}}}}\sin {({\frac {(2i-N-1)\omega }{2}}+{\frac {j\pi }{2}})}$

此处 $\lambda _{j}$ 为 $C_{xx}$ 之特征值

$\lambda _{j}={\frac {1-\rho ^{2}}{1-2\rho \,\cos {\omega _{j}}+\rho ^{2}}}$

其中 $\tan(N\omega _{j})=-{\frac {(1-\rho ^{2})\sin {\omega _{j}}}{\cos {\omega _{j}}-2\rho +\rho ^{2}\cos {\omega _{j}}}}$

对于不同的输入影像，其$\rho$会有所不同，而若是令 $\rho \rightarrow 1$，则此变换不必与输入相关，同时继承了K-L变换去除相关性的优异性质。

此时 $\lambda _{j}=\left\{{\begin{matrix}N,&{\mbox{if }}j=1\\0,&{\mbox{if }}j\neq 1\end{matrix}}\right.$

代入上式，得 KLT|$\rho \rightarrow 1$ ，$v_{ij}=\left\{{\begin{matrix}{\sqrt {\frac {1}{N}}}\cos {\frac {(2i-1)(j-1)\pi }{2N}},&{\mbox{if }}j=1\\{\sqrt {\frac {2}{N}}}\cos {\frac {(2i-1)(j-1)\pi }{2N}},&{\mbox{if }}j\neq 1\end{matrix}}\right.$

离散余弦变换较K-L变换在实务上较为有利，因其毋须纪录会随输入而改变的变换矩阵。

KLT与PCA的区别

KLT和主成分分析(PCA, Principle component analysis) 有相似的特性，二者之间有很细微的差异，其中KLT专门处理随机性的讯号，但PCA则没有这个限制。对PCA而言，这里假设输入讯号为ㄧ向量，输入向量$\mathbf {x}$在乘上变换矩阵$\mathbf {W}$之前，会先将输入向量扣去平均值，即:

$\mathbf {X} =\mathbf {W} (\mathbf {x} -{\bar {x}})$

PCA会根据$\mathbf {x}$之covariance矩阵来选择特征向量做为变换矩阵之内容：

$E[(\mathbf {x} -{\bar {x}})(\mathbf {x} -{\bar {x}})^{T}]=\mathbf {W\Lambda W} ^{T}$

其中$\mathbf {\Lambda }$为对角线矩阵且对角线值为特征值。

由上述可见PCA和KLT之差异在于有没有减去平均值，这是由于输入资料分布的限制造成的，当输入向量支平均值为零时，二这者没有差异。

应用

在影像的压缩上，目的是要将原始的影像档用较少的资料量来表示，由于大部分的影像并不是随机的分布，相邻的像素(Pixal)间存在一些相关性，如果我们能找到一种可逆变换(reversible transformation)，它可以去除数据的相关性，如此一来就能更有效地储存资料，由于K-L变换是一种线性变换，并有去除资料相关性的特性，便可以将它应用在影像的压缩上。此外，由于K-L变换具有将讯号转到特征空间(eigenspace)的特性，因此也可以应用在人脸辨识上。

 参考文献

1. Ding, J. J. (2017). Advanced Digital Signal Processing [Powerpoint slides] http://djj.ee.ntu.edu.tw/ADSP8.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）

2. Gerbrands, J.J., On the relationships between SVD, KLT, and PCA, Pattern Recogn., 14 (1981), pp. 375-381