黎曼映射定理

在数学中，黎曼映射定理是复分析最深刻的定理之一，此定理分类了$\mathbb {C}$的单连通开子集。

定理陈述

设$D:=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$为开圆盘，$\Omega \subset \mathbb {C}$为单连通开子集。若$\Omega \neq \mathbb {C}$，则存在一对一的全纯映射$f:\Omega \to D$，使$f^{-1}:D\to \Omega$亦全纯。换言之，$\Omega$与$D$ 双全纯同构。

注意到二维的全纯映射不外乎保持定向的共形映射，它保持角度与定向不变。

简史

黎曼在他1851年的博士论文中陈述了这个结果，但其证明不完整。康斯坦丁·卡拉西奥多里在1912年发表了第一个完整证明。

注记

• 黎曼映射定理乃是存在性定理，一般无法具体表示从$\Omega$至$D$的全纯映射。
• 定理中对$\Omega$的条件极宽松；举例明之，$\Omega$的边界可能是碎形曲线，但$\Omega$仍可透过共形映射映至单位圆盘，这在直观上是很难想像的。
• 此定理对$\pi _{1}(\Omega ,*)=\mathbb {Z}$时即告失效：环型区域（形如$\{z\in \mathbb {C} :r<|z|<R\}$）之间的共形映射仅有反演、缩放与旋转。
• 此定理在更高维度即不成立。
• 在黎曼曲面的框架下，此定理可推广为单值化定理：单连通黎曼曲面必同构于$\mathbb {C} ,D$或$\mathbb {C} P^{1}$。

证明概要

给定$U$和$z_{0}$，我们希望构造一个函数$f$，它把$U$映射到单位圆盘，把$z_{0}$映射到$0$。在这个证明概要中，我们假设$U$是有界的，且其边界是光滑的，就像黎曼所做的那样。记

$f(z)=(z-z_{0})\exp(g(z))\,\!$

其中$g=u+iv$是某个（待确定的）全纯函数，其实数部分为$u$，虚数部分为$v$。于是显然z₀是f的唯一一个零点。我们要求对于$U$的边界上的$z$有$|f(z)|=1$，因此我们需要在边界上有$u(z)=-\log |z-z_{0}|$。由于$u$是全纯函数的实数部分，我们知道$u$一定是一个调和函数，也就是说，它满足拉普拉斯方程。

于是问题变为：存在某个实值调和函数$u$，对所有的$U$都有定义，且具有给定的边界条件吗？狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要确立了u的存在，全纯函数$g$的柯西-黎曼方程便允许了我们求出$v$（这个论证依赖于$U$是单连通的假设）。一旦构造了$u$和$v$，我们还需要验证所得到的函数$f$确实满足所有需要的性质。

文献

• John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
• John B. Conway, Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
• Reinhold Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3
• Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse（页面存档备份，存于互联网档案馆）, Göttingen, 1851