椭圆围绕一个垂直轴旋转而成的类球面
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扁球面 |
长球面
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类球面是一种二次曲面。二维的椭圆有两个主轴,称为长轴与短轴。在三维空间里,将一个椭圆绕着其任何一主轴旋转,则可得到一个类球面。
- 假若,这旋转主轴是长轴,则这个类球面为长球面。例如,英式足球里所用的橄榄球是长球形状。
- 假若,这旋转主轴是短轴,则这个类球面为扁球面。例如,地球在北极与南极稍微有点扁平,在赤道又有点凸涨。所以,地球是扁球形状。
- 假若,生成的椭圆是圆圈,则这个类球面为完全对称的圆球面。
方程式
用另外一种方法来描述,类球面是一种椭球面。采用直角坐标,椭球面可以表达为
- ;
其中,与分别是椭球面在x-轴与y-轴的赤道半径,是椭球面在z-轴的极半径,这三个正值实数的半径决定了椭球面的形状。 以z-轴为旋转轴的类球面,它的方程为:
- 。
- 。
- 假若,类球面的赤道半径小于极半径,则这是类球面是长球面:
- 。
- 假若,类球面的赤道半径大于极半径,则这是类球面是扁球面:
- 。
性质
面积
扁球面c < a,它的表面积为:
- 其中。
扁球面是半长轴为a而半短轴为c的椭圆围绕z-轴旋转而形成的,因此e可看作为离心率[1]。
长球面c > a,它的表面积为:
- 其中。
长球面是半长轴为c而半短轴为a的椭圆围绕z-轴旋转而形成的,因此e可看作离心率[2]。
体积
类球的体积是。
曲率
假若,一个类球面被参数化为
- ;
其中,是参数纬度(parametric latitude),,是经度,。
那么,类球面的高斯曲率(Gaussian curvature)是
- 。
类球面的平均曲率(mean curvature)是
- 。
对于类球面,这两种曲率永远是正值的。所以,类球面的每一点都是椭圆的。
参阅
引用