非均匀采样

非均匀取样（英语：Nonuniform sampling）是取样定理下的产物，借由拉格朗日插值法及均匀取样理论的关系，来达成满足取样定理的概括化型态。取样定理限制了在对连续讯号取样时的条件，如奈奎斯特准则，以避免取样后的重构时产生讯号缺陷。而非均匀取样则是在不同时间有不同的取样间隔，但平均下来，整段取样满足取样定理的限制，根据取样定理的回推，这样的作法在有限带宽讯号重构时不会造成缺陷。因此，虽然均匀取样在讯号重构时较简单，完整的重构讯号却不见得一定要用均匀取样来的讯号才能达到。

1967年蓝道提出的对于非均匀取样及非基频取样的泛用理论提到，平均后的取样率，无论是否均匀取样，若是知道使用的频谱为前题下，必须要是讯号占用带宽的两倍大。1990年代末期，这个理论推广到占用带宽的数量已知，而实际上频谱位置未知的情形。2000年代，非均匀取样与压缩取样逐渐发展成一套完整的理论，并实际实作在讯号处理上。如果频谱位置是未知的，取样率必须至少两倍大于奈奎斯特准则，也就是说未知频谱位置的代价是至少多两倍的带宽。

取样混叠

主条目：取样定理

奈奎斯特准则用取样率限制了最大取样频率，若是超出这个频率就会产生混叠。高于取样频率的成分将被重构成低于取样频率的讯号，因而导致重构失真，这样的失真就称为混叠，因为这两个讯号有同样的取样值，重构时并不能主动判断是哪一个成分讯号造成的。同样的状况也出现在数值分析里的频谱法。一般有两个方式可以避免混叠的发生，一是提高取样频率，使之达到最凹讯号频率的两倍以上，意即使之符合奈奎斯特准则。二是引入低通滤波器，通常称为抗混叠滤波器，用以滤除高于最大频率之讯号。

均匀取样会造成讯号混叠

然而，若是将每个取样的时间点前后挪移一点单位，在重构讯号时，由于只有被取样频率的正弦波可以经过取样点，原本会被误重构二个频率均不会经过取样点。暂且不论重构讯号的方式，此法的确可以避免混叠，是为非均匀取样。研究亦有指出，在正确进行非均匀取样的前提下，每一个频率都有对应的取样数值组合，在上述的例子中也显示其抗混叠的效用，意即成功重构是可能的。

调整取样时间点，便可有效避免讯号混叠

最常使用的非均匀采样抗混叠讯号处理法的实作，是引入一串高精度且已知的时间长度，作为取样的间隔。虽然非均匀取样可以解决混叠问题，然实际使用上，包含取样率的上限计算等，与一般均匀取样不全然相同。平均取样率是借由总取样点除以总取样时间得到，最小取样数则在均匀与否的取样皆相同，均匀取样则常常有超过数量的取样点，目的同样是为了防止混叠。

理论

拉格朗日插值法

当有n+1个时间点对应的值是知道的时候，可以建立一个n次多项式来重构此函数。假设这n+1个点为$z_{0},z_{1},\ldots ,z_{n}$，且其对应的值为$w_{0},w_{1},\ldots ,w_{n}$

以上对应存在一个为一的多项式使得：

$p_{n}(z_{i})=w_{i},{\text{ where }}i=0,1,\ldots ,n.$

而这个多项式可以用以下插值多项式加以简化

$I_{k}(z)={\frac {(z-z_{0})(z-z_{1})\cdots (z-z_{k-1})(z-z_{k+1})\cdots (z-z_{n})}{(z_{k}-z_{0})(z_{k}-z_{1})\cdots (z_{k}-z_{k-1})(z_{k}-z_{k+1})\cdots (z_{k}-z_{n})}}$

以上式子可表示如下

$I_{k}(z_{j})=\delta _{k,j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}k\neq j\\1,&{\text{if }}k=j\end{cases}}$

便可以将前述多项式写成

$p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}w_{k}I_{k}(z)$

$p_{n}(z_{j})=w_{j},j=0,1,\ldots ,n$

为了使式子形式更简洁明了，引入以下函数

$G_{n}(z)=(z-z_{0})(z-z_{1})\cdots (z-z_{n})$

以下便为拉格朗日插值多项式：

$p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}w_{k}{\frac {G_{n}(z)}{(z-z_{k})G'_{n}(z_{k})}}$

令$f(z_{j})=p_{n}(z_{j}),j=0,1,\ldots ,n,$则此多项是又可以写作

$f(z)=\sum _{k=0}^{n}f(z_{k}){\frac {G_{n}(z)}{(z-z_{k})G'_{n}(z_{k})}}$

惠特克–夏农–科特尔尼科夫定理(Whittaker–Shannon–Kotelnikov) (WSK)

惠特克将以上插值多项式的定义拓展到整函数上，他给出了以下插值形式

$C_{f}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(a+nW){\frac {\sin[\pi (z-a-nW/W)]}{[\pi (z-a-nW/W)]}}$

当点在$z_{n}=a+nW$时，其函数值与前述$f(z)$相同。

延续前一节的简化，以上整函数形式的插值函数$C_{f}(z)$亦可以简化为

$C_{f}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(z_{n}){\frac {G(z)}{G'(z_{n})(z-z_{n})}},{\text{ where }}G(z)=\sin[\pi (z-z_{n})/W]{\text{ and }}z_{n}=a+nW$

当 a=0且W=1时，以上函数与现时定义之WSK理论近几一致：

若一个函数可以以下形式表达

$f(t)=\int _{-\sigma }^{\sigma }e^{jxt}g(x)\,dx\qquad (t\in \mathbb {R} ),\qquad \forall g\in L^{2}(-\sigma ,\sigma ),$

则此函数可以借由以下方式重构

$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f\left({\frac {k\pi }{\sigma }}\right){\frac {\sin(\sigma t-k\pi )}{\sigma t-k\pi }}\qquad (t\in \mathbb {R} )$

非均匀采样

若存在一序列$\{t_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }$满足以下条件

$D=\sup _{k\in \mathbb {Z} }|t_{k}-k|<{\frac {1}{4}},$

则

$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t_{k}){\frac {G(t)}{G'(t_{k})(t-t_{k})}},\qquad \forall f\in B_{\pi }^{2},\qquad (t\in \mathbb {R} ),$

${\text{ where }}G(t)=(t-t_{0})\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {t}{t_{k}}}\right)\left(1-{\frac {t}{t_{-k}}}\right),$ $B_{\sigma }^{2}.$是Bernstein space，$f(t)$均匀收敛于紧致集。

以上称为培力-威纳-莱文森定理，为将WSK定理从均匀取样时间拓展至非均匀取样时间的定里。