非互补欧拉商数

非互补欧拉商数（noncototient）是指一个正整数n，不存在任一个整数m使下式成立：

$m-\varphi (m)=n,$

其中$\varphi (m)$表示欧拉函数（totient function），是小于m的正整数中和m互质整数的个数。$m-\varphi (m)$称为m的互补欧拉商数（cototient）（OEIS数列A051953）。例如小于6的正整数中，和6互质的只有一个数字5，因此6的欧拉函数为1，而互补欧拉商数为6-1=5。

而非互补欧拉商数就是指不在互补欧拉商数值域内的整数，若正整数n是非互补欧拉商数，表示所有整数m的互补欧拉商数都不等于n。

头几个非互补欧拉商数是：

10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, 518, 520 （OEIS数列A005278）。

另外，n的互补欧拉商数是

0, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 6, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 12, 1, 12, 9, 12, 1, 16, 5, 14, 9, 16, 1, 22, 1, 16, 13, 18, 11, 24, 1, 20, 15, 24, 1, 30, 1, 24, 21, 24, 1, 32, 7, 30, 19, 28, 1, 36, 15, 32, 21, 30, 1, 44, 1, 32, 27, 32, 17, 46, 1, 36, 25, 46, 1, 48, ... （OEIS数列A051953）

目前已知的非互补欧拉商数均为偶数，因此猜想所有的非互补欧拉商数均为偶数，猜想中有用到有经过修改的哥德巴赫猜想：若偶数n可以表示为二个相异质数p及q的和，则

$pq-\varphi (pq)=pq-(p-1)(q-1)=p+q-1=n-1.\,$

依照哥德巴赫猜想，所有大于6的偶数都可以表示为二个相异质数p及q的和，此偶数减1所得的奇数就是pq的互补欧拉商数，因此很可能所有大于5的奇数都是互补欧拉商数，而未考虑到的奇数有1,3,5，而$1=2-\phi (2),3=9-\phi (9)$, $5=25-\phi (25)$，这些数也都是互补欧拉商数，因此很可能所有的非互补欧拉商数均为偶数。

Erdős和Sierpinski曾猜想存在有无限多个非互补欧拉商数，后来Browkin和Schinzel在1995年证实此一猜想，他们证明无穷数列$2^{k}\cdot 509203$的每一项都是非互补欧拉商数，Flammenkamp和Luca在2000年提出了其他形式大致接近的范例。

相关条目

• 欧拉函数
• 非欧拉商数

参考资料

• Browkin, J.; Schinzel, A. On integers not of the form n-φ(n). Colloq. Math. 1995, 68 (1): 55–58. Zbl 0820.11003. 
• Flammenkamp, A.; Luca, F. Infinite families of noncototients. Colloq. Math. 2000, 86 (1): 37–41. Zbl 0965.11003. 
• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004: 138–142. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 

外部链接

• Noncototient definition from MathWorld （页面存档备份，存于互联网档案馆）