迪潘指标线
在微分几何中,迪潘指标线(英语:Dupin indicatrix)是一个描述曲面局部形状的概念。通俗来讲,画一个平行于曲面上一点P的切平面并离切平面有微小距离的平面。考虑曲面与这个平面的交线,不难发现交线的形状与曲面在P点的高斯曲率有关。迪潘指标是平面接近切平面时极限过程的结果。该指标线的概念是19世纪法国数学家夏尔·迪潘发明的[1]。
定义
对于方程为的曲面S,在曲面上一点P可作无数个法截线,每个法截线在P点的曲率为法曲率。
设是对应于截面方向d的法曲率,沿截面方向d作长度为的线段PN,则对所有方向d,点N的集合为曲面在P点的迪潘指标线。
迪潘指标线的方程
选取P为原点, 为基向量,则它们可构成曲面S在P点的切平面上的笛卡尔坐标系。设N点坐标为,法截线方向d的切向量为,可得到:
.
代入,经过化简有:.
其中L, M, N 是曲面第二基本形式,以上就是迪潘指标线的方程[2]。
应用
从迪潘指标线的方程可知其表示以P点为中心的二次曲线,因此可以由二次曲线的类别对不同的P点进行分类:
- 如果 , 则此时迪潘指标线为椭圆,P点成为曲面的椭圆点。
- 如果 , 则此时迪潘指标线为双曲线,P点成为曲面的双曲点。
- 如果 , 则此时迪潘指标线为一队平行直线,P点成为曲面的抛物点。
- 如果 , 则此时迪潘指标线不存在,P点成为曲面的平点。
参见
参考资料
- ^ Kendall, John. Oxford Dictionary of National Biography. Reference Reviews. 2013-09-16, 27 (7). ISSN 0950-4125. doi:10.1108/rr-07-2013-0169.
- ^ 梅, 向明. 微分几何. 高等教育出版社. 2007. ISBN 978-7-04-023572-2.