西格尔引理

在数学上，特别是超越数论和丢番图逼近的研究中，西格尔引理（Siegel's lemma）指的是从辅助函数的构造中得到的线性方程的解的界限。这些多项式的存在性由阿克塞尔·图厄所证明：图厄的证明用到了鸽巢原理，卡尔·路德维希·西格尔在1929年出版此引理。这是一个线性方程组方面纯粹的存在性定理。

近年来，西格尔引理受到改进以得出比引理给出的估计更强的界限。

陈述

设有一组有$M$个方程、$N$个未知数，且$N>M$的方程组，其中的方程式有着如下的形式：

$a_{11}X_{1}+\cdots +a_{1N}X_{N}=0$

$\cdots$

$a_{M1}X_{1}+\cdots +a_{MN}X_{N}=0$

在这些方程组的系数为有理数、不全为零，且以$B$为界的状况下，这方程组有如下的解：

$(X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})$

其中的$X$全为有理数、不全为0，且上下界如下：

$(NB)^{M/(N-M)}$

Bombieri及Vaaler在1983年对$X$给出了如下更强的界限（Bombieri & Vaaler (1983)）：

$\max |X_{j}|\,\leq \left(D^{-1}{\sqrt {\det(AA^{T})}}\right)^{\!1/(N-M)}$

其中$D$是矩阵$A$的$M\times M$子式的最大公因数，而$A^{T}$则是其转置矩阵。他们的证明涉及了将鸽巢原理以几何数论的技巧取代的做法。

参见

• 丢番图逼近

参考资料

• Bombieri, E.; Vaaler, J. On Siegel's lemma. Inventiones Mathematicae. 1983, 73 (1): 11–32. Bibcode:1983InMat..73...11B. S2CID 121274024. doi:10.1007/BF01393823. 
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. Diophantine geometry. Graduate Texts in Mathematics 201. Berlin, New York: Springer-Verlag. 2000. ISBN 978-0-387-98981-5. MR 1745599. 
• Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections]) (Pages 125-128 and 283–285)
• Wolfgang M. Schmidt. "Chapter I: Siegel's Lemma and Heights" (pages 1–33). Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.