数学上所谓的自守形式(英语:Automorphic form),是一类特别的复变量函数,并在某个离散变换群下满足由自守因子描述之变换规律。模形式与马斯形式是其特例。由自守形式可定义自守表示,严格言之,自守表示并非寻常意义下的群表示,而是整体赫克代数上的模。
庞加莱在1880年代曾研究过自守形式,他称之为富克斯函数。郎兰兹纲领探讨自守表示与数论的深入联系。
古典定义
设
为作用于复区域
的离散群。取定自守因子
及权
。相应的权
自守形式是
上满足下述函数方程的全纯函数
。
自守因子
当
固定时是
上的全纯函数,并且是
上的 1-闭上链。
定义中的复值函数
可推广成取值为矩阵的函数;权
的限制亦可放松,例如半整数
。
群上的定义
自守形式另有群表示理论的诠释,并牵涉数论,但无法完全涵摄古典定义。为简单起见,以下设
,其中心可等同于
。
考虑整体域
(例如
),由此定义
的阿代尔点
,赋予相应的拓扑结构,并取定标准的紧子群
。
固定一拟特征
。以
为中心特征的自守形式定为
上满足下列条件的复值函数
:
光滑:若
为函数域,这代表
是局部常数函数。否则意谓存在一组
的开覆盖
,对每个
,
,而
无穷可微。
- 对任何
及任何
,总有
。
右
-有限:函数
张成有限维向量空间。
- 承上,设
为泛包络代数
之中心,则
为
-有限。
- 缓增性:固定适当的高度函数
(取法不影响定义),存在常数
及
使得
。
注记. 若
是
的阿基米德赋值,条件二中张出的空间在李代数
的作用
下不变。条件三蕴含自守形式对阿基米德赋值是解析函数。
若对所有
皆有
![{\displaystyle \int _{M_{r,s}(F)\backslash M_{r,s}(\mathbb {A} _{F})}f{\begin{pmatrix}I_{r}&X\\0&I_{s}\end{pmatrix}}\,dX=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20e5d68379f9df0c1189aba183111839e010ff32)
则称
为尖点形式。
自守表示
定义
为中心特征为
的自守形式集,子空间
则为尖点形式集。
这两个空间是有限阿代尔群
的表示;对阿基米德赋值则带有
-模结构。此套结构可以概括为整体赫克代数
的表示。注意:它们并非
的表示!
一个自守表示是
-模
之子商,
称作该自守表示的中心拟特征。尖点自守表示是
之子空间。
参考文献
- A.N. Parshin, Automorphic Form, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7
- Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations, (1998), Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55. ISBN 0-521-65818-7 .
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