群环

在抽象代数中，群环是从一个群 $G$ 及交换环 $R$ 构造出的环，通常记为 $R[G]$ 或 $RG$。其定义为：

$R[G]:=\bigoplus _{g\in G}Re_{g}\qquad$ （换言之，这是由基底 $\{e_{g}:g\in G\}$ 张出的自由 $R$-模）

其上的 $R$-线性乘法运算由 $e_{g}\cdot e_{h}=e_{gh}$ 给出。$R[G]$ 对 $R$-模的加法与上述乘法形成一个 $R$-代数。乘法单位元素为 $1:=e_{e}$。

最常用的是 $R=\mathbb {Z}$ 或 $R=\mathbb {C}$ 的群环。对于后者，$\mathbb {C} [G]$ 成为 $G$ 的表示：$s\sum a_{g}e_{g}=\sum a_{g}e_{sg}$；若 $G$ 为有限群，则称此表示为正则表示。正则表示与有限群的表示理论有密切的联系。

对于无穷阶的群 $G$，迄今对群环的结构仍所知甚少。对于局部紧拓扑群，通常采用 $C_{c}(G)$ 或 $L^{1}(G)$ 对折积构成的代数，较有利于研究群的拓扑性质及其表示。

例子

令 $G=C_{3}$ ，即阶为 $3$ 的循环群，其中 $a$ 为群的一个生成元， $1_{G}$ 为其单位元。群环 $\mathbb {C} [G]$ 中的元素 $r$ 可以表示成

$z_{0}1_{G}+z_{1}a+z_{2}a^{2}$

其中 $z_{0}$ ，$z_{1}$ 以及 $z_{2}$ 皆为 $\mathbb {C}$ 中的元素，即复数。

对群环中其他的元素 $s=w_{0}1_{G}+w_{1}a+w_{2}a^{2}$ ，我们可以定义群环的加法

$r+s=(z_{0}+w_{0})1_{G}+(z_{1}+w_{1})a+(z_{2}+w_{2})a^{2}$

以及乘法

$rs=(z_{0}w_{0}+z_{1}w_{2}+z_{2}w_{1})1_{G}=(z_{0}w_{1}+z_{1}w_{0}+z_{2}w_{2})a+(z_{0}w_{2}+z_{1}w_{1}+z_{2}w_{0})a^{2}$

文献

• A. A. Bovdi, Group algebra, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• C.W. Curtis, I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience (1962)
• D.S. Passman, The algebraic structure of group rings, Wiley (1977)