线性矩阵不等式

线性矩阵不等式是凸优化中，具有形式：

$\operatorname {LMI} (y):=A_{0}+y_{1}A_{1}+y_{2}A_{2}+\cdots +y_{m}A_{m}\geq 0\,$

的表达式, 其中,

• $y=[y_{i}\,,~i\!=\!1,\dots ,m]$ 是一个实向量,
• $A_{0},A_{1},A_{2},\dots ,A_{m}$ 是 $n\times n$ 的实对称矩阵 $\mathbb {S} ^{n}$,
• $B\geq 0$是广义的不等式，意思是在$\mathbb {S} ^{n}$的半正定子空间 $\mathbb {S} _{+}$内，$B$是半正定矩阵。

线性矩阵不等式表示y的凸集限制条件。

应用

有一些有效率的数值方法可以判断线性矩阵不等式是否可行（是否存在向量y使得LMI(y) ≥ 0），或解出有LMI限制条件的凸优化问题。 许多控制理论、系统识别及信号处理的最佳化问题都可以表示为线性矩阵不等式。线性矩阵不等式也可以应用在Polynomial SOS中。原型的原始半定规划及对偶半定规划都是实线性函数的最小化，分别属于控制此LMI的原始凸锥及对偶凸锥。

求解

凸优化的主要突破是导入了内点法。这个方法是在一系列的论文中发展的。在尤里·涅斯捷罗夫及阿尔卡迪·内米罗夫斯基探讨LMI问题的论文中引起学术界的注意。

参考资料

• Y. Nesterov and A. Nemirovsky, Interior Point Polynomial Methods in Convex Programming. SIAM, 1994.

外部链接

• S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory （页面存档备份，存于互联网档案馆） (book in pdf)
• C. Scherer and S. Weiland Course on Linear Matrix Inequalities in Control, Dutch Institute of Systems and Control (DISC).