离散对数

在整数中，离散对数（英语：Discrete logarithm）是一种基于同余运算和原根的一种对数运算。而在实数中对数的定义 $\log _{b}a$ 是指对于给定的 $a$ 和 $b$，有一个数 $x$，使得$b^{x}=a$。相同地在任何群 G中可为所有整数 $k$ 定义一个幂数为 $b^{k}$，而离散对数 $\log _{b}a$ 是指使得 $b^{k}=a$ 的整数 $k$ 。 离散对数在一些特殊情况下可以快速计算。然而，通常没有具非常效率的方法来计算它们。公钥密码学中几个重要算法的基础，是假设寻找离散对数的问题解，在仔细选择过的群中，并不存在有效率的求解算法。

定义

当模$m$有原根时，设$l$为模$m$的一个原根，则当$x\equiv l^{k}{\pmod {m}}$时：

$Ind_{l}x\equiv k{\pmod {m}}$，此处的$Ind_{l}x$为$x$以整数$l$为底，模$m$时的离散对数值

性质

离散对数和一般的对数有着相类似的性质：

• $Ind_{l}xy\equiv Ind_{l}x+Ind_{l}y{\pmod {\phi (m)}}$
• $Ind_{l}x^{y}\equiv yInd_{l}x{\pmod {\phi (m)}}$

参见

• 原根
• 对数