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矩问题

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数学上,矩问题询问是否可以由一个测度 μ 的序列

确定该测度。更一般地,亦可考虑序列

其中 Mn 为任意一列函数。

简介

最典型的例子中,μ 取为实数线上的测度,并取 M 为序列 {xn : n = 0, 1, 2, ... }. 此种矩问题源自概率论,其意义为:是否存在一个概率测度,其平均数方差等组成的序列等于给定的序列,又及该测度是否唯一。

矩问题当中,有三种以人名命名,分别为:允许 μ 的支撑集为全条实轴的Hamburger 矩问题英语Hamburger moment problem、支撑集为 [0,+∞) 的斯蒂尔吉斯矩问题英语Stieltjes moment problem,以及支撑集为有界闭区间(不失一般性可设为 [0, 1]) 的豪斯多夫矩问题英语Hausdorff moment problem

存在性

一个序列 mn 为某个测度 μ 的矩,当且仅当其汉克尔矩阵 Hn,

半正定。 这是因为一个半正定的汉克尔矩阵对应一个线性泛函 ,其满足 (即:当作用于多项式的平方和时,其结果非负)。假设 可以扩展成 的元素。在单变量的情况下,非负的多项式必为若干个多项式的平方和,故线性泛函 于非负多项式处均取非负值。由 Haviland (1936),该线性泛函有测度形式,亦即 . 在有界区间 [a, b] 上,测度 的存在性也有类似形式的充要条件。

可用以下方法证明上述结论。设线性泛函 将多项式

映到

mkn 为以 [a, b] 为支撑的测度 μ 的矩,则

φ(P) ≥ 0 对任意在 [ab] 上非负的多项式 P 都成立。 1

反之,如果 (1) 为真,则可运用M. 里斯扩展定理英语M. Riesz extension theorem 扩展成 C0([a, b]) 上的线性泛函,其满足

. 2

里斯表示定理,(2) 成立当且仅当存在以 [a, b] 为支撑的测度 μ ,使得

对任意的 fC0([a, b]) 成立。

由此可见, 的存在性等价于 (1). 再利用 [a, b] 上的非负多项式的表示定理,即可将 (1) 写成一个关于汉克尔矩阵的条件。

详见 Shohat & Tamarkin 1943Krein & Nudelman 1977

唯一性

豪斯多夫矩问题中,可由魏尔斯特拉斯逼近定理得到 μ 的唯一性。该定理断言:[0, 1] 上的连续函数集中,在一致范数的意义下,多项式集稠密的。至于在无穷区间上的矩问题,唯一性是一个更深入的问题。参见 Carleman 条件英语Carleman's condition(1922)、Krein 条件英语Krein's condition (1940s) 和 Akhiezer (1965).

变式

矩问题的一个重要变式是截尾矩问题,其研究具有给定前 k (不为无穷大)阶矩的测度的性质。截尾矩问题的研究成果,可以应用在极值问题、优化理论,以及概率论的极限定理上。 参见: 切比雪夫–马可夫–斯蒂尔吉斯不等式英语Chebyshev–Markov–Stieltjes inequalitiesKrein & Nudelman 1977.

参见

参考文献