本迪克森-杜拉克定理

在数学里，本迪克森-杜拉克定理说明了对于一个二维的驻定动力系统

${\frac {dx}{dt}}=X(x,y),$

${\frac {dy}{dt}}=Y(x,y)$

如果存在$\varphi (x,y)$使得

${\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}\neq 0$

在研究区域（必须是单连通的）上几乎处处成立，那么这个动力系统不存在周期解。所谓“几乎处处成立”是指不成立的点的集合是一个测度为零的集合。这个定理可以用格林定理证出。

证明

运用反证法，假设研究区域为单连通的区域 $D$，其内存在对于动力系统：

${\frac {dx}{dt}}=X(x,y),$

${\frac {dy}{dt}}=Y(x,y)$

的一组周期解$(x,y)$，其周期为$T$，那么对于

$\Gamma :x=x(t)\,\ y=y(t)\,\ 0\leq t\leq T$

所围成的区域$D_{\Gamma }\subset D$，有

$\iint _{D_{\Gamma }}\,({\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}})dx\,dy=\int _{\Gamma }\,\varphi (Xdy-Ydx)$

$=\int _{0}^{T}\,\varphi (X{\frac {dy}{dt}}-Y{\frac {dx}{dt}})dt=\int _{0}^{T}\,\varphi (XY-YX)dt=0$

但是由于使得 ${\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}=0$ 的点 $(x,y)$ 的集合是一个测度为零的集合，所以总可以找到 $\varphi$ 使得${\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}$在零点之外不变号。这样$\iint _{D_{\Gamma }}\,({\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}})dx\,dy$不可能为0，矛盾！

因此周期解不存在，定理得证。

参见

• 极限环
• 庞加莱回归

参考资料

• 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松，《常微分方程》（第三版），297页，高等教育出版社。
• MICHAL FECKAN,A GENERALIZATION OF BENDIXSON'S CRITERION，Proceedings of The

American Mathematical Society, Volume 129, Number 11, Pages 3395-3399,S 0002-9939(01)06107-X, Article electronically published on April 25, 2001[1]