有界集合

（顶上的）有界集合和（底下的）无界集合的示意图。底下的这个集合一直向右延续。

在数学分析和有关的数学领域中，如果一个集合在某种意义上有有限大小，则称为有界。反过来说，不是有界的集合就叫做无界。

定义

如果存在一个实数 $k$，使得对于所有 $S$ 中的 $s$ 有 $k\geq s$，实数集合 $S$ 被称为“上有界”的，这个数 $k$ 被称为 $S$ 的上界。可用类似的定义术语“下有界”和下界。

如果集合 $S$ 有上界和下界二者，则它是有界的。所以，如果一个实数集合包含在有限区间内，则它是有界的。

度量空间

度量空间 $(M,d)$ 的子集 $S$ 是有界的，如果它包含在有限半径的球内，就是说如果对于所有 $S$ 中的 $s$，存在 $M$ 中的 $x$ 并且 $r>0$，使得 $d(x,s)<r$。$M$ 是有界度量空间（或 $d$ 是有界度量），如果 $M$ 作为自身的子集是有界的。

• 完全有界性蕴涵有界性。对于 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子集下列二者是等价的。
• 度量空间是紧致的，当且仅当它是完备的并且是完全有界的。
• 欧几里得空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子集是紧致的，当且仅当它是闭集并且是有界的。

拓扑向量空间内的有界性

在拓扑向量空间中，存在一个有界集合的不同定义，通常叫做冯·诺伊曼有界性。如果拓扑向量空间的拓扑是由均匀度量所诱导，如度量是由赋范向量空间的范数所诱导的情况，则这两个定义是一致的。

序理论中的有界性

一个实数集合是有界的，当且仅当它有上界和下界。这个定义可扩展到任何偏序集合的子集。注意这个更一般的有界性概念不对应于“大小”的概念。

对于偏序集合 $P$ 的子集 $S$，如果 $S$ 中的所有元素 $s$，都小于 $P$ 中的某个元素 $k$，也就是对于所有$s\in S$，$s\leq k$，其中$k\in P$ ，则称S为上有界的(bounded above)，而元素 $k$ 称为 $S$ 的上界。同理可定义下有界和下界。（参见上界和下界。）

偏序集合 $P$ 的子集 $S$ 叫做有界的，如果它有上界和下界二者，或等价的说，它被包含在一个区间内。注意这不是集合 $S$ 自己的一个性质，而是集合 $S$ 作为 $P$ 的子集的性质。

有界偏序集合 $P$（就是说自身就是有界而不是作为子集）是有最小元素和最大元素的偏序集合。注意这个有界性的概念与有限大小无关，有界偏序集合 $P$ 的子集 $S$ 在 $P$ 的次序（的限制）下也不必然是有界偏序集合。

$\mathbb {R} ^{n}$ 的子集 $S$ 是关于欧几里得距离有界的，当且仅当它在乘积序下作为 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子集是有界的。但是，$S$ 可以是在字典序下有界，而不关于欧几里得距离有界。

序数的类被称为是无界的，或共尾的，在给定任何序数的时候，总是有这个类的某个成员大于它。所以在这种情况下，“无界”不意味着自身是无界的而是作为序数类的子类是无界的。

参见

• 完全有界空间
• 局部有界性
• 有界函数