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有界变差

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有界变差(英语:Bounded variation)是函数的一个性质,它指的是总变差为有限的函数

有界变差的理论对黎曼-斯蒂尔杰斯积分有相当的用处。

定义

,若一个定义于实数区间 上的函数有界变差函数,则存在一正数 ,对任意在区间 上的(有限)分割 而言,有

另一个等价的定义为:定义一个跟函数 相关的量如下:

这里的符号 代表在闭区间 [a, b] 上所有的(有限)分割。

为有界变差函数当且仅当

其定义可推广至复数域乃至于任何的欧几里德空间上。


性质

  • 任意单调函数都是有界变差的。
  • 在区间上满足Lipschitz条件,即存在常数,使得对于任意,有,则上是有界变差的。
  • 在区间上连续,且在区间的内部可微,若对于任意在定义域的内部的点而言,存在一正实数使得,则上是有界变差的。
  • 在区间上是有界变差的,则在该区间上亦是有界的。
  • 在区间上是有界变差的,则其不连续点的数量是可数的。

参见

参照