普遍化

普遍化（generalization）是数理逻辑里一条极为常用的规则，直观来说，这条规则在满足一条件下，可以将原合式公式推广成被全称量化的版本。

视为元定理

元定理 — 在 ${\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},....,{\mathcal {A}}_{n}$ 里变数 $x$ 都完全被约束，若

{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},....,{\mathcal {A}}_{n}\vdash {\mathcal {B}}

则有

{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},....,{\mathcal {A}}_{n}\vdash (\forall x){\mathcal {B}}

就是一般所称的普遍化。

普遍化可以视为谓词演算的一条推理规则，也就是说：（以下的 $x$ 为任意变数， ${\mathcal {A}}$ 为任意合式公式）

{\mathcal {A}}

可以推出

\forall x{\mathcal {A}}

。

也可以用相继式表记为

{\mathcal {A}}\vdash \forall x{\mathcal {A}}

但这个推理规则会严苛地限制演绎定理的适用范围，如

\vdash P(x)\Rightarrow \forall xP(x)

不成立，因为无法确定变数 $x$ 在 $P(x)$ 有没有完全被约束（参见上面元定理一节）。这就破坏了元语言的＂十字旋转门＂“ $\vdash$ ”跟逻辑语言的“ $\Rightarrow$ ”间的联系。也就是说，直观上“ 以合式公式 ${\mathcal {A}}$ 为前提，根据推理规则和公理可以推出合式公式 ${\mathcal {B}}$ ”跟“根据推理规则和公理可以推出合式公式 ${\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}$ ”是等价的，但将普遍化视为推理规则就不免打破这个直观联系。

以下的证明是基于将普遍化视为推理规则 。

$\vdash \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\Rightarrow [\forall xP(x)\Rightarrow \forall xQ(x)]$

证明：

编号	公式	理由
1	$\forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]$	假设
2	$\forall xP(x)$	假设
3	$\forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\Rightarrow [P(x)\Rightarrow Q(x)]$	公理 PRED-1
4	$P(x)\Rightarrow Q(x)$	从 (1) 和 (3) 通过肯定前件
5	$\forall xP(x)\Rightarrow P(x)$	公理 PRED-1
6	$P(x)\$	从 (2) 和 (5) 通过肯定前件
7	$Q(x)\$	从 (6) 和 (4) 通过肯定前件
8	$\forall xQ(x)$	从 (7) 通过普遍化
9	$\forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)],\,\forall xP(x)\vdash \forall xQ(x)$	总结 (1) 到 (8)
10	$\forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\vdash \forall xP(x)\Rightarrow \forall xQ(x)$	从 (9) 通过演绎定理
11	$\vdash \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\Rightarrow [\forall xP(x)\Rightarrow \forall xQ(x)]$	从 (10) 通过演绎定理

步骤(10)中，因为 $\forall xP(x)$ 里 $x$ 完全被约束，所以可以套用演绎定里，步骤(11)也是基于类似的理由。