普法夫值

在数学中，普法夫值（英语：Pfaffian）pf(A) 是矩阵A的行列式的平方根。若A是反对称矩阵，

$\operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A),$

即斜对称矩阵的行列式总是可以写成矩阵元素构成的整系数多项式的平方，且系数只取决于矩阵的大小。该多项式的值被称为该斜对称矩阵的普法夫值。

性质 

若A是2n x 2n的反对称矩阵

$\operatorname {pf} (A^{\text{T}})=(-1)^{n}\operatorname {pf} (A).$

$\operatorname {pf} (\lambda A)=\lambda ^{n}\operatorname {pf} (A).$

$\operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A).$

若B是任何2n x 2n矩阵

$\operatorname {pf} (BAB^{\text{T}})=\det(B)\operatorname {pf} (A).$

若A^TB是正定矩阵

${\textrm {pf}}(A)\,{\textrm {pf}}(B)=\exp({\tfrac {1}{2}}\mathrm {tr} \log(A^{\text{T}}B)).$

不然的是

$\mathrm {pf} (A)\,\mathrm {pf} (B)={\tfrac {1}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}),\qquad \mathrm {where} \qquad s_{l}=-{\tfrac {1}{2}}(l-1)!\,\mathrm {tr} ((AB)^{l})$

其中的B_n(s₁,s₂,...,s_n)是贝尔多项式。

应用

• 陈-高斯-博内定理，欧拉示性数是曲率形式的普法夫值
• 双体模型

阅读

• Zhang, Fuzhen, ed. The Schur complement and its applications. Vol. 4. Springer Science & Business Media, 2006.
• https://web.archive.org/web/20160305005223/http://jesusmtz.public.iastate.edu/soliton/REPORT%202.pdf（孤子）
• http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/597510.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）