数论

数论（英语：Number theory）是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质，被称为“最纯”的数学领域。

简介

数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。^[1]^{[注 1]}
——卡尔·弗里德里希·高斯

正整数按乘法性质划分，可以分成质数，合数，1，质数产生了很多一般人能理解却又悬而未解的问题，如哥德巴赫猜想，孪生素数猜想等。即，很多问题虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。数论除了研究整数及素数外，也研究一些由整数衍生的数（如有理数）或是一些广义的整数（如代数整数）。

整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、素数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。

历史

古代

数论早期也称为算术^{[注 2]}，而算术一词则表示“基本运算”^{[注 3]}^[3]，在现代数论诞生前，早期铺垫有三大内容：

欧几里得证明质数无穷多。
寻找质数的埃拉托斯特尼筛法；欧几里得求最大公约数的辗转相除法。
公元420至589年（中国南北朝时期）的孙子定理。

中世纪

在中世纪早期，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的数学家斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。

中世纪数论主要是指15-16世纪由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的数论。最早是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。

近代

费马

皮埃尔·德·费马（1601–1665）没有著作出版，他在数论上的贡献几乎都在他写给其他数学家的信上，以及书旁的空白处^[4]。费马的贡献几乎没有数论上的证明^[5]，不过费马重复的使用数学归纳法，并引入无穷递降法。

费马最早的兴趣是在完全数及相亲数，因此开始研究整数约数，这也开始1636年之后的数学研究，也接触到当时的数学社群^[6]。他已在1643年研读过巴歇（英语：Claude Gaspard Bachet de Méziriac）版本的丢番图著作，他的兴趣开始转向丢番图方程和平方数的和^[7]。

费马在数论上的贡献有：

费马小定理 (1640)^[8]，若 $a$ 不是素数 $p$ 的倍数，则 $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$
若 $a$ 和 $b$ 互素，则 $a^{2}+b^{2}$ 无法被任何除4后同余-1的素数整除^[9]，而且每个除4后同余1的素数都可以表示为 $a^{2}+b^{2}$ .^[10]，这二个是在1640年证明的，在1649年他在写给惠更斯的信上提到他用无穷递降法证明的第二个问题^[11]，费马和福兰尼可（英语：Frenicle）在其他平方形式上也有一些贡献，不过其中有些错误及不严谨之处^[12]。
向英国的数学家提出了求解 $x^{2}-Ny^{2}=1$ 的挑战（1657年），但在几个月后就由Wallis及Brouncker证明^[13]。费马认为他们的证明有效，但用了一个在其中未经证明的算法，费马自己是由无穷递降法找到证明。
发展许多找亏格0或1曲线上点的方法，作法类似丢番图，有许多特殊的步骤，使用了切线法构建曲线，而不是用割线法^[14]。
证明 $x^{4}+y^{4}=z^{4}$ 不存在非寻常的正整数解。

费马在1637年声称（费马最后定理）证明了对于大于2的任意整数 $n$ ，不存在 $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ 的非寻常的正整数解（目前已知唯一的证明是由数学家安德鲁·怀尔斯及其学生理查·泰勒于1994年完成的证明），但只在一本丢番图著作的旁边写到，而且他没有向别人宣称他已有了证明^[15]。

欧拉

欧拉(1707–1783)对数论的兴趣最早是由他的朋友哥德巴赫所引发，让他开始专注在费马的一些研究上^[16]^[17]，在费马没有使当代的数学家注意此一主题后，欧拉的出现称为“现代数论的重生”^[18]。欧拉数论的贡献包括以下几项^[19]：

费马研究的证明，包括费马小定理（欧拉延伸到非素数的模数），以及 $p=x^{2}+y^{2}$ 当且仅当 $p\equiv 1\;mod\;4$ ，这项研究可推导到所有整数都可以表示为四个平方数的证明（第一个完整证明是由约瑟夫·拉格朗日提出，费马很快的也提出证明），和 $x^{4}+y^{4}=z^{2}$ 没有非零整数解的证明，表示为费马最后定理 $n=4$ 时成立，欧拉用类似方式证明了 $n=3$ 的情形。
佩尔方程，最早误以为是欧拉证明^[20]，欧拉也写了连分数和佩尔方程的关系^[21]。
二次式，继费马之后，欧拉继续研究哪些素数可以表示为 $x^{2}+Ny^{2}$ ，其中有些显示二次互反律的性质^[22] ^[23]^[24]。
丢番图方程：欧拉研究一些亏格为0或1的丢番图方程^[25]^[26]，特别的是他研读丢番图的著作，试图要找到系统化的方法，但时机尚不成熟，几何数论才刚形成而已^[27]。欧拉有注意到丢番图方程和椭圆积分之间的关系^[27]。

分支

初等数论: 意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题，最主要的工具包括整数的整除性与同余。重要的结论包括中国余数定理、费马小定理、二次互反律等等。

解析数论: 借助微积分及复分析的技术来研究关于整数的问题^[28]，主要又可以分为积性数论（英语：Multiplicative number theory）与加性数论两类。积性数论借由研究积性生成函数的性质来探讨素数分布的问题，其中素数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。
代数数论: 引申代数数的话题，关于代数整数的研究，主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目的，这个领域与代数几何之间有相当关联，比如类域论（class field theory）就是此间的颠峰之作。
算术代数几何: 研究有理系数多变量方程组的有理点，其结构（主要是个数）和该方程组对应的代数簇的几何性质之间的关系，有名的费马最后定理、莫德尔猜想（法尔廷斯定理）、Weil猜想（英语：Weil conjectures），和千禧年大奖难题中的贝赫和斯维讷通-戴尔猜想都属此类。
几何数论: 主要在于透过几何观点研究整数（在此即格子点）的分布情形。最著名的定理为闵可夫斯基定理。
计算数论: 借助电脑的算法帮助数论的问题，例如素数测试和约数分解等和密码学息息相关的话题。
超越数论: 研究数的超越性，其中对于欧拉常数与特定的黎曼ζ函数值之研究尤其令人感到兴趣。
组合数论: 利用组合和概率的技巧，非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由保罗·埃尔德什开创的思路。
模形式: 数学上一个满足一些泛函方程与增长条件、在上半平面上的（复）解析函数。

应用

注释

^ 德语原文“Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik.”
^ 1952年时数学家哈罗德·达文波特（英语：Harold Davenport）仍用“高等算术”一词来表示数论，戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特在1938年写《数论介绍》简介时曾提到“我们曾考虑过将书名改为《算术介绍》，某方面而言是更合适的书名，但也容易让读者误会其中的内容”^[2]
^ 不过在20世纪的后半，有部分数学家仍会用“算术”一词来表示数论。到20世纪初，才开始使用数论的名称

参考资料

^ The Queen of Mathematics. [2014-09-30]. （原始内容存档于2014-10-06）.
^ Apostol, Tom M. An introduction to the theory of numbers. (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909. American Mathematical Society. n.d. [2013-05-06]. （原始内容存档于2012-07-31）.
^ Heath, Thomas L. A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. 1921 [2016-02-28].
^ Weil 1984，第45–46页.
^ Weil 1984，第118页，数论比其他数学领域容易出现这様的情形（说明在Mahoney 1994，第284页）
^ Mahoney 1994，第48, 53–54页
^ Weil 1984，第53页.
^ Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 209, Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640, cited in Weil 1984，第56页
^ Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 204, cited in Weil 1984，第63页
^ Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 213.
^ Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 423.
^ Weil 1984，第80, 91–92页.
^ Weil 1984，第92页.
^ Weil 1984，Ch. II, sect. XV and XVI.
^ Weil 1984，第104页.
^ Weil 1984，第2, 172页.
^ Varadarajan 2006，第9页.
^ Weil 1984，第2页 and Varadarajan 2006，第37页
^ Varadarajan 2006，第39页 and Weil 1984，第176–189页
^ Weil 1984，第174页
^ Weil 1984，第183页.
^ Varadarajan 2006，第44–47页.
^ Weil 1984，第177–179页.
^ Edwards 1983，第285–291页.
^ Varadarajan 2006，第55–56页.
^ Weil 1984，第179–181页.
^ ^27.0 ^27.1 Weil 1984，第181页.
^ Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001

参考书目

Weil, André. Number theory: an approach through history – from Hammurapi to Legendre,. Boston: Birkhäuser. 1984 [2014-10-06]. ISBN 978-0-8176-3141-3. （原始内容存档于2014-10-12）.
Mahoney, M. S. The mathematical career of Pierre de Fermat, 1601–1665 Reprint, 2nd. Princeton University Press. 1994 [2014-10-06]. ISBN 978-0-691-03666-3. （原始内容存档于2014-10-12）.
Tannery, Paul; Henry, Charles (eds.); Fermat, Pierre de. Oeuvres de Fermat. (4 Vols.). Paris: Imprimerie Gauthier-Villars et Fils. 1891 （法语及拉丁语）. Volume 1 Volume 2 Volume 3 Volume 4 (1912)
Varadarajan, V. S. Euler through time: a new look at old themes. American Mathematical Society. 2006 [2014-10-06]. ISBN 978-0-8218-3580-7. （原始内容存档于2014-10-12）.
Edwards, Harold M. Euler and quadratic reciprocity. Mathematics Magazine (Mathematical Association of America). November 1983, 56 (5): 285–291. JSTOR 2690368. doi:10.2307/2690368.

外部链接

（英文） Number Theory Web （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[2] 德语原文“Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik.”

[4] 1952年时数学家哈罗德·达文波特（英语：Harold Davenport）仍用“高等算术”一词来表示数论，戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特在1938年写《数论介绍》简介时曾提到“我们曾考虑过将书名改为《算术介绍》，某方面而言是更合适的书名，但也容易让读者误会其中的内容”^[2]

[5] 不过在20世纪的后半，有部分数学家仍会用“算术”一词来表示数论。到20世纪初，才开始使用数论的名称

[1] The Queen of Mathematics. [2014-09-30]. （原始内容存档于2014-10-06）.

[3] Apostol, Tom M. An introduction to the theory of numbers. (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909. American Mathematical Society. n.d. [2013-05-06]. （原始内容存档于2012-07-31）.

[6] Heath, Thomas L. A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. 1921 [2016-02-28].

[FOOTNOTEWeil198445–46-7] Weil 1984，第45–46页.

[8] Weil 1984，第118页，数论比其他数学领域容易出现这様的情形（说明在Mahoney 1994，第284页）

[9] Mahoney 1994，第48, 53–54页

[FOOTNOTEWeil198453-10] Weil 1984，第53页.

[11] Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 209, Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640, cited in Weil 1984，第56页

[12] Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 204, cited in Weil 1984，第63页

[FOOTNOTETanneryHenry1891Vol._II,_p._213-13] Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 213.

[FOOTNOTETanneryHenry1891Vol._II,_p._423-14] Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 423.

[FOOTNOTEWeil198480,_91–92-15] Weil 1984，第80, 91–92页.

[FOOTNOTEWeil198492-16] Weil 1984，第92页.

[FOOTNOTEWeil1984Ch._II,_sect._XV_and_XVI-17] Weil 1984，Ch. II, sect. XV and XVI.

[FOOTNOTEWeil1984104-18] Weil 1984，第104页.

[FOOTNOTEWeil19842,_172-19] Weil 1984，第2, 172页.

[FOOTNOTEVaradarajan20069-20] Varadarajan 2006，第9页.

[21] Weil 1984，第2页 and Varadarajan 2006，第37页

[22] Varadarajan 2006，第39页 and Weil 1984，第176–189页

[Eulpell-23] Weil 1984，第174页

[FOOTNOTEWeil1984183-24] Weil 1984，第183页.

[FOOTNOTEVaradarajan200644–47-25] Varadarajan 2006，第44–47页.

[FOOTNOTEWeil1984177–179-26] Weil 1984，第177–179页.

[FOOTNOTEEdwards1983285–291-27] Edwards 1983，第285–291页.

[FOOTNOTEVaradarajan200655–56-28] Varadarajan 2006，第55–56页.

[FOOTNOTEWeil1984179–181-29] Weil 1984，第179–181页.

[FOOTNOTEWeil1984181-30] 27.0 ^27.1 Weil 1984，第181页.

[31] Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001

[1]

[注 1]

[注 2]

[注 3]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[2]

查论编主要的数学领域
历史纲要（英语：Outline of mathematics）列表（英语：Lists of mathematics topics）符号表
数学基础	范畴论集合论数理逻辑数学哲学
代数	抽象交换群论初等代数线性代数多重线性代数泛代数
数学分析	微积分实变函数复变函数微分方程泛函分析调和分析傅里叶分析几何分析
离散数学	组合数学图论序理论博弈论
几何学	代数几何解析几何微分几何离散几何学欧几里得几何非欧几里得几何有限几何学
数论	算术代数数论解析数论几何数论算术几何丢番图几何
拓扑学	点集拓扑代数拓扑微分拓扑几何拓扑
统计学	测度与概率数理统计学数据科学统计推断回归分析统计学习理论机器学习人工智能数据结构与算法
计算数学	计算机科学计算理论数值分析最优化计算机代数
应用数学	控制论信息论计算化学数理生物学数理经济学计量经济学数理金融学数学心理学数学物理学生物统计学
其它	娱乐数学数学与艺术（英语：Mathematics and art）数学教育
注释	数学的领域也可根据“MSC分类标准”或“中国学科分类国家标准”进行分类。
分类主题共享资源专题

查论编计算机科学的主要领域
注：该模板大致遵循ACM 电脑分类系统。
计算机硬件	印刷电路板外部设备集成电路超大规模集成电路绿色计算电子设计自动化
系统架构组织	电脑系统架构嵌入式系统实时计算
网络	网络传输协议路由网络拓扑网络服务
软件组织	直译器中间件虚拟机器操作系统软件质量
软件符号和工具	编程范型编程语言编译器领域特定语言软件框架集成开发环境软件配置管理函式库
软件开发	软件开发过程需求分析软件设计软件部署软件维护开源模式
计算理论	自动机可计算性理论计算复杂性理论量子计算数值计算方法计算机逻辑形式语义学
算法	算法分析算法设计算法效率随机化算法计算几何
计算数学	离散数学信息与计算科学统计学数学软件数理逻辑集合论数论图论类型论范畴论信息论数值分析数学分析
信息系统	数据库管理系统电脑数据企业信息系统社会性软件地理信息系统决策支持系统过程控制数据挖掘数位图书馆系统平台数位行销万维网信息检索
安全	密码学形式化方法入侵检测系统网络安全信息安全
人机交互	计算机辅助功能用户界面可穿戴计算机普适计算虚拟现实聊天机器人
并发性	并发计算并行计算分布式计算多线程多元处理
人工智能	自动推理计算语言学计算机视觉进化计算专家系统自然语言处理机器人学
机器学习	监督式学习无监督学习强化学习交叉验证
计算机图形学	计算机动画可视化渲染修饰照片图形处理器混合现实虚拟现实图像处理图像压缩实体造型
应用计算	电子商务企业级软件计算数学计算物理学计算化学计算生物学计算社会科学医学信息学数字艺术电子出版网络战电子游戏文字处理器运筹学教育技术学生物信息学认知科学文件管理系统（英语：Document management system）
分类主题专题维基共享

规范控制数据库
国际	FAST
各地	西班牙法国 BnF data 德国以色列美国日本捷克
其他	IdRef