戴德金和

戴德金和（Dedekind sum）是德国数学家理查德·戴德金在跟戴德金η函数有关的工作中提出的。

定义这个函数，首先要定义$((x))$：若$x$是整数，$((x))=0$，否则为$x-[x]-0.5$，其中$[x]$是最大而又不大于$x$的整数。

对于非零整数$h,k$，戴德金和$s(h,k)$定义为 $s(h,k)=\sum _{\mu =0}^{k-1}(({\frac {\mu }{k}}))(({\frac {h\mu }{k}}))$

若$h,k$互质且均大于0，有$s(h,k)={\frac {1}{4k}}\sum _{\mu =1}^{k-1}\cot \left({\frac {\pi h\mu }{k}}\right)\cot \left({\frac {\pi \mu }{k}}\right)$

公式

• 有公因数时：$s(ch,ck)=s(h,k)$
• Petersson-Knopp恒等式：$\sum _{d|n}\sum _{m=0}^{d-1}s\left({\frac {n}{d}}h+mk,kd\right)=\sigma (n)s(h,k)$，$\sigma (n)$为因数函数，是$n$的正因数之和。其中一个较易证明的特例为当$p$为质数，$(p+1)s(h,k)=s(ph,k)+\sum _{m=0}^{p-1}s(h+mk,pk)$
• 周期性：$s(nk+h,k)=s(h,k)$
• 若$pq\equiv 1{\pmod {k}}$，$s(p,k)=s(q,k)$。
• $s(1,k)={\frac {(k-1)(k-2)}{12k}}$
• 若$k$为奇数，$s(2,k)={\frac {(k-1)(k-5)}{24k}}$
• 对于$k\equiv 1{\pmod {h}}$，$12hks(h,k)=(k-1)(k-(h^{2}+1))$
• 对于$k\equiv 2{\pmod {h}}$，$12hks(h,k)=(k-2)(k-(h^{2}+1)/2)$
• 对于$k\equiv -1{\pmod {h}}$，$12hks(h,k)=k^{2}+(h^{2}-6h+2)k+(h^{2}+1)$
• 互反和：

$s(h,k)+s(k,h)=-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}\left({\frac {h}{k}}+{\frac {1}{hk}}+{\frac {k}{h}}\right)$

参考

• https://web.archive.org/web/20070929120859/http://gifted.hkedcity.net/Gifted/Download/notes/0607math2phase/advanced/06-11-4-11-18_dedekind%20sums.pdf
• http://mathworld.wolfram.com/DedekindSum.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://arxiv.org/abs/math/0112077 （页面存档备份，存于互联网档案馆）