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底数 (进制)

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底数(radix, base)又称数基[1]基数基值根值[2]记数根[3],是指进位制中用以乘每个数位而得有效值的数;如十进制数的底数为 10,而二进制数的底数为 2。底数(数基)属于记数系统所使用的一种数字表示符号。

在进位制系统中,若要表示一个数字的底数和值,会用(x)y表示,x是每一位数字组合成的字符串y是底数,十进制是最常用的,因此会省略底数以及字符串前后的括号。例如(100)10也可以表示为100(后者省略其进制),表示一百,而(100)2(底数为2,是二进制)表示数字4[4]

进位制和底数

以13进制的系统为例,398表示的数字是(十进制下的)3 × 132 + 9 × 131 + 8 × 130 = 632。

若是在b进制(b > 1)下,各位数数字是d1dn的数,其值为 d1bn−1 + d2bn−2 + … + dnb0,其中 0 ≤ di < b.[4]。在十进制中,有个位数、十位数、百位数……等,而在b进制中,有个位数、b1位数、b2位数……等[5]

常用的进制系统有:

底数 名称 描述
2 二进制 是绝大多数电子计算机中使用的进制。二个数字分别是"0"和"1",可以以用开关关闭或开启来表示。大部分的电子计数器都使用二进制。
8 八进制 有时会在运算时使用。八个数字分别是"0"–"7",表示三个位元(23)。
10 十进制 全世界最常使用的进制系统,一般运算也是用十进制来表示。十个数字分别是"0"–"9"。用在大部分的机械计数器英语mechanical counter上。
12 十二进制 因为底数可以被2、3、4和6整除,有些情形上使用很方便。传统上有些数量用表示的,即使用了十二进制。
16 十六进制 十六进制可以用比较简洁的方式表示二进制(十六进制的一个数字代表二进制的四个位元),常用在电脑中。十个数字分别是"0"–"9",以及"A"–"F"(或"a"–"f") 而且可以表示颜色。
20 二十进制 有些文化传统上会使用二十进制,有些文化在计数时仍会用到,有些会用score表示20。
60 六十进制 源起于古苏美尔,后来传到巴比伦尼亚[6]。现今表示角度的度分秒系统,以及表示时间的时分秒系统都有使用六十进制。

二进制的数字可以轻松的转换为八进制和十六进制的数字,而且数字长度较短。十六进制的一个数字表示二进制的四位数字。例如十六进制的7816,在二进制下是11110002。而八进制的一个数字也可以表示二进制的三位数字。

正整数在特定进制下的表示法是唯一的。令b大于一的正整数,则每一个正整数a都可以以以下形式表示,而且不会和其他的正整数重复:

其中m是非负整数,r是整数,使得

0 < rm < b and 0 ≤ ri < b for i = 0, 1, ... , m − 1.[7]

底数多半是自然数,不过也有一些进制的底数不是整数,例如黄金进制(底数是非整数的代数数[8])、负底数英语negative base(底数为负)[9]。 负底数可以在不使用负号的情形下表示负数。例如,若b = −10,则该进制下的19对应十进制下的1 × (−10)1 + 9 × (−10)0 = −1。

广义的底数

底数亦可以解释为进位制系统进位的时机,当底数为b时,则该进制每逢b则进位一次。例如十进制底数为10,故数字每逢十就进位一次,也就是说9的下一个数将会进位到十位数,又例如八进制底数为8,故7的下一个数则逢8,进位成10(8)

此定义可以将底数推广到非整数进制中,例如黄金进制底数为黄金比例,故黄金比例这个数在黄金进制中表达为10,因为已“逢黄金比例”因此进位到第二位数。

相关条目

注解

  1. ^ 存档副本. [2023-07-09]. (原始内容存档于2023-07-09). 
  2. ^ 存档副本. [2023-07-09]. (原始内容存档于2023-07-09). 
  3. ^ 存档副本. [2023-07-09]. (原始内容存档于2023-07-09). 
  4. ^ 4.0 4.1 Mano, M. Morris; Kime, Charles. Logic and Computer Design Fundamentals 4th. Harlow: Pearson. 2014: 13–14. ISBN 978-1-292-02468-4. 
  5. ^ Binary: How Do Computers Talk? | Experimonkey. experimonkey.com. [2018-12-02]. [失效链接]
  6. ^ Bertman, Stephen. Handbook to Life in Ancient Mesopotamia Paperback. Oxford [u.a.]: Oxford Univ. Press. 2005: 257 [2021-08-13]. ISBN 978-019-518364-1. (原始内容存档于2021-08-13). 
  7. ^ McCoy (1968,第75页)
  8. ^ Bergman, George. A Number System with an Irrational Base. Mathematics Magazine. 1957, 31 (2): 98–110. JSTOR 3029218. doi:10.2307/3029218. 
  9. ^ William J. Gilbert. Negative Based Number Systems (PDF). Mathematics Magazine. September 1979, 52 (4): 240–244 [7 February 2015]. doi:10.1080/0025570X.1979.11976792. (原始内容存档 (PDF)于2013-11-26). 

参考资料

  • McCoy, Neal H., Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, 1968, LCCN 68015225 

外部链接