几何分布

几何分布

概率质量函数
累积分布函数
参数	$0<p\leq 1$成功概率（实）	$0<p\leq 1$成功概率（实）
支撑集	$k\in \{1,2,3,\dots \}\!$	$k\in \{0,1,2,3,\dots \}\!$
概率质量函数（pmf）	$(1-p)^{k-1}\,p\!$	$(1-p)^{k}\,p\!$
累积分布函数 (cdf)	$1-(1-p)^{k}\!$	$1-(1-p)^{k+1}\!$
期望	${\frac {1}{p}}\!$	${\frac {1-p}{p}}\!$
中位数	$\left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil \!$（如果$-1/\log _{2}(1-p)$是整数，则中位数不唯一）	$\left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil \!-1$（如果$-1/\log _{2}(1-p)$是整数，则中位数不唯一）
众数	$1$	$0$
方差	${\frac {1-p}{p^{2}}}\!$	${\frac {1-p}{p^{2}}}\!$
偏度	${\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}\!$	${\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}\!$
超值峰度	$6+{\frac {p^{2}}{1-p}}\!$	$6+{\frac {p^{2}}{1-p}}\!$
熵	${\tfrac {-(1-p)\log _{2}(1-p)-p\log _{2}p}{p}}\!$	${\tfrac {-(1-p)\log _{2}(1-p)-p\log _{2}p}{p}}\!$
矩生成函数 (mgf)	${\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}\!$, for $t<-\ln(1-p)\!$	${\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\!$
特征函数	${\frac {pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}}\!$	${\frac {p}{1-(1-p)\,e^{it}}}\!$

在概率论和统计学中，几何分布（英语：Geometric distribution）指的是以下两种离散型概率分布中的一种：

• 在伯努利试验中，得到一次成功所需要的试验次数$X$。$X$的值域是{ 1, 2, 3, ... }

• 在得到第一次成功之前所经历的失败次数$Y=X-1$。Y的值域是{ 0, 1, 2, 3, ... }

实际使用中指的是哪一个取决于惯例和使用方便。

这两种分布不应该混淆。前一种形式（$X$的分布）经常被称作shifted geometric distribution；但是，为了避免歧义，最好明确地说明取值范围。

如果每次试验的成功概率是$p$，那么$k$次试验中，第$k$次才得到成功的概率是，

$\Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p\,$

其中$k=1,2,3,\ldots$.

上式描述的是取得一次成功所需要的试验次数。而另一种形式，也就是第一次成功之前所失败的次数，可以写为，

$\Pr(Y=k)=(1-p)^{k}\,p\,$

其中$k=0,1,2,3,\ldots$

两种情况产生的序列都是几何数列。这是几何分布的名字来源。

比如，假设不停地掷骰子，直到得到1。投掷次数是随机分布的，取值范围是无穷集合{ 1, 2, 3, ... }，并且是一个$p={\frac {1}{6}}$的几何分布。

性质

呈几何分布的随机变量X的期望是1/p，方差是 （1-p)/p²:

$\mathrm {E} (X)={\frac {1}{p}},\qquad \mathrm {var} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}.$

几何分布具有非记忆性的性质（Memoryless Property，又称遗失记忆性）

这表示如果一个随机变量呈几何分布，它的条件概率遵循：

$P(T>s+t\;|\;T>t)=P(T>s)\;\;{\hbox{for all}}\$s, t ∈ℕ.

记号

若随机变量${\mathit {X}}$服从参数为${\mathit {p}}$的几何分布，则记为$X\sim G(p)$.

用途

在重复多次的伯努利试验中，试验进行到某种结果出现第一次为止，此时的试验总次数服从几何分布，如：射击，首次击中目标时的次数。

参见

• 概率分布
• 超几何分布
• 负二项分布
• 指数分布