巴苏定理

在统计学中，巴苏定理（Basu's Theorem）指出任何有界完全的充分统计量与任何辅助统计量独立。 这是Debabrata Basu于1955年发现的结论。

定理陈述

设$P_{\theta }$是可测空间$(X,\Sigma )$上的一族分布。如果$T$是$\theta$的充分且有界完全的统计量，$A$是关于$\theta$的辅助统计量，那么$T$独立于$A$。

证明

对任意博雷尔集$B$，构造函数$h_{B}(T)\equiv P_{\theta }(A\in B|T)-P_{\theta }(A\in B)$。注意到记号$h_{B}$是合理的，因为这一函数不取决于$\theta$。第一项不取决于$\theta$是因为$T$的充分性，第二项不取决于$\theta$是因为$A$是关于$\theta$的辅助统计量。注意到$h_{B}$有界并且期望为0。因此，$T$的有界完全性保证了$h_{B}$几乎处处为0。由于$B$可以是任意博雷尔集，定理得证。

例子

正态分布（方差已知）的样本期望独立于样本方差

让 X₁, X₂,..., X_n 是独立同分布的正态分布随机变量，其中方差$\sigma ^{2}$已知，均值$\mu$未知。

关于参数$\mu$，可以证明样本均值

${\widehat {\mu }}={\frac {\sum X_{i}}{n}},$

是充分完全统计量，并且样本方差

${\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}},$

是辅助统计量，即其分布并不依赖于$\mu$。

因此，巴苏定理指出二者独立。

尽管上述证明是借助方差已知均值未知的正态分布模型完成的，这一结论并不只在该情况下成立。实际上，无论方差或均值已知与否，正态分布的样本均值和样本方差都是独立的。更进一步，正态分布是唯一具有这一性质的分布。