n {\displaystyle n} 次分圆多项式,是指多项式 x n − 1 {\displaystyle x^{n}-1} 分解因式结果中的一个特定多项式 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ,满足 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 的解都不是低于 n {\displaystyle n} 次的形如 x n − 1 = 0 {\displaystyle x^{n}-1=0} 的方程的解。
n次的分圆多项式的根是 e 2 i π k n {\displaystyle \mathrm {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi k}{n}}} (对所有满足 gcd ( k , n ) = 1 {\displaystyle \gcd(k,n)=1} 的整数 k {\displaystyle k} )。
下表是几个次数较低的分圆多项式。
基础性质: 分圆多项式是整系数的不可约多项式,对于 x n − 1 {\displaystyle x^{n}-1} 的分圆多项式 f ( n ) {\displaystyle f(n)} ,有 f ( n ) {\displaystyle f(n)} 的次数为 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} ,其中 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 是欧拉函数。
计算: 对于n为质数的分圆多项式,我们有: f ( x ) = 1 + x + x 2 + . . . + x n − 1 = ∑ k = 0 n − 1 x k {\displaystyle f\left(x\right)=1+x+x^{2}+...+x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}}