伪内切圆

几何学中，三角形的伪内切圆^[1]是内切于三角形两条边和其外接圆的一个圆。与顶点 $A$ 的两条边相切的伪内切圆称为“关于点 $A$ 的伪内切圆”、“ $A$ 所对的伪内切圆”或“ $A$ -伪内切圆”。

关于三角形的每个顶点都有唯一的伪内切圆。

存在性及唯一性的证明

关于点 $A$ 的旁切圆是唯一的。

定义 $\Phi$ 为以下两个几何变换的复合：先以 $A$ 点为圆心， ${\sqrt {AB\cdot AC}}$ 为半径作反演变换；再关于角 $A$ 的平分线作对称变换。由于反演变换和对称变换都为双射且变换前后保留交点的性质， $\Phi$ 也有对应的性质。

$A$ 点的旁切圆经 $\Phi$ 变换后的图像为内切于 $AB$ 、 $AC$ ，以及 $ABC$ 外接圆的一个圆，即关于点 $A$ 的伪内切圆。因此关于点 $A$ 的伪内切圆唯一确定。类似地，关于点 $B$ 及点 $C$ 的伪切圆也唯一确定。^[2]

以下公式说明了三角形内切圆半径 $r$ 和 $A$ -伪内切圆半径 $\rho _{A}$ 的关系： $r=\rho _{A}\cdot \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}$ 其中 $\alpha$ 是角 $A$ 的大小^[3]。

三角形内心 $I$ 为伪内切圆与三角形其中两边的切点 $D$ 和 $E$ 组成线段的中点^[4]。

$T_{A}D$ 和 $T_{A}E$ 与圆 $(ABC)$ 除 $T_{A}$ 的交点分别为弧 ${\overset {\frown }{AB}}$ 和 ${\overset {\frown }{AC}}$ 的中点^[4]。

$T_{A}BDI$ 和 $T_{A}CEI$ 为圆内接四边形^[4]。

$T_{A}I$ 与圆 $(ABC)$ 除 $T_{A}$ 的交点为弧 ${\overset {\frown }{BAC}}$ 的中点^[4]。

^ 潘成华; 田开斌; 褚小光. 与曼海姆定理有关的一类几何问题. 中等数学. 2017, (4): 2–6. ISSN 1005-6416. 与三角形外接圆内切且与三角形的两边相切的圆称为伪内切圆
^ Baca, Jafet. On Mixtilinear Incircles (PDF). Mathematical Reflections. 2020, (2) [2023-01-21]. （原始内容存档 (PDF)于2022-10-23）.
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