倒向随机微分方程
倒向随机微分方程（BSDE）是带有终点条件的随机微分方程，其解要根据底层滤波进行调整。BSDE自然地出现在各种应用中，如随机控制、金融数学与非线性费曼-卡茨公式。[1]
背景
1973年让-米歇尔·比斯姆提出了BSDE线性情形[2]，1990年法国学者Etienne Pardoux和中国学者彭实戈合作发表的论文中提出BSDE非线性情形，线性是广泛的非线性中的一特殊形式[3][4]。
数学框架
固定终点时刻与概率空间。令为布朗运动，其自然滤波。BSDE是积分方程，其类型为
![{\displaystyle (B_{t})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df3acd3171fe6d3043cf659824788ec54a58c1b)
![{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82e12fc426e0596ce14ce461967be662ade6308)
![{\displaystyle Y_{t}=\xi -\int _{t}^{T}f(s,Y_{s},Z_{s})\mathrm {d} s-\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17180d83e4f78ae7a196811558357512998fd870)
其中称作BSDE的生成器，终点条件是-可测随机变量，解包含随机过程、，其适应于过滤。
![{\displaystyle f:[0,T]\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5a07d360c3ab1e651a84d55d3ed4eac4e52574)
![{\displaystyle (Y_{t},Z_{t})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7657e9e989f222e34b2deb255a4865c7a70c8f59)
![{\displaystyle (Y_{t})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000976c421b7bbe36cc923abcd80451ba72e9573)
![{\displaystyle (Z_{t})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1e34758f442803ae3d9a28f0be1441d12622b7)
例子
在情形下，BSDE (1)简化为
![{\displaystyle Y_{t}=\xi -\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ccbb034bf7321f8a155df3736e962d8ddd2c3c)
若，则根据鞅表示定理，存在唯一的随机过程使、满足BSDE (2)。
![{\displaystyle Y_{t}=\mathbb {E} [\xi |{\mathcal {F}}_{t}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a566b1a0bce3de307338be1add02b9b37d5324)
另见
参考文献
- ^ Ma, Jin; Yong, Jiongmin. Forward-Backward Stochastic Differential Equations and their Applications. Lecture Notes in Mathematics 1702. Springer Berlin, Heidelberg. 2007 [2023-11-10]. ISBN 978-3-540-65960-0. doi:10.1007/978-3-540-48831-6. （原始内容存档于2023-08-09）.
- ^ Bismut, Jean-Michel. Conjugate convex functions in optimal stochastic control. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1973, 44 (2): 384–404. doi:10.1016/0022-247X(73)90066-8.
- ^ Pardoux, Etienne; Peng, Shi Ge. Adapted solution of a backward stochastic differential equation. Systems & Control Letters. 1990, 14: 55–61. doi:10.1016/0167-6911(90)90082-6.
- ^ 陈欢欢. 彭实戈院士：倒向随机微分方程理论在金融决策中的应用. news.sciencenet.cn. 科学网. 2008-06-29 [2024-01-07]. （原始内容存档于2024-01-07）.
阅读更多
- Pardoux, Etienne; Rӑşcanu, Aurel. Stochastic Differential Equations, Backward SDEs, Partial Differential Equations. Stochastic modeling and applied probability. Springer International Publishing Switzerland. 2014.
- Zhang, Jianfeng. Backward stochastic differential equations. Probability theory and stochastic modeling. Springer New York, NY. 2017.