五引理

在同调代数中，五引理是关于交换图的一个重要引理。五引理可以被视为两个相对偶的四引理之组合。此结果不只对阿贝尔范畴成立，也对群范畴成立。

陈述

在任一阿贝尔范畴（例如阿贝尔群或模的范畴）或群范畴中，考虑以下的交换图：

五引理的叙述是：如果横列正合，$m,p$ 是同构，$l$ 是满射而 $q$ 是单射，则 $n$ 是同构。

两个四引理的叙述是：

(1) 考虑交换图

若其横行正合，$m,p$ 是满射而 $q$ 是单射，则 $n$ 是满射。

(2) 考虑交换图

若其横行正合，$m,p$ 是单射而 $l$ 是满射，则 $n$ 是单射。

证明

以下采用的证法俗称“图追踪”，它看似繁复，其实习惯后只是例行程序罢了。

为进行图追踪，以下假设所论范畴为某个环上的模范畴，因此可以谈论对象的元素，并将态射视为模的同态。此时单射、满射等等性质相应于集合论意义上的性质。根据Mitchell嵌入定理，可导出一般范畴上的情形。

对于群范畴，仅须注意到证明内容未用到群的交换性。

1. 设 $c'\in C'$。
2. 由于 $p$ 是满射，存在 $d\in D$ 使得 $p(d)=t(c')$。
3. 根据图的交换性，$u(p(d))=q(j(d))$。
4. 根据正合性， $\mathrm {Im} (t)=\mathrm {Ker} (u)$，故 $0=u(t(c'))=u(p(d))=q(j(d))$。
5. 因为 $q$ 是单射，$j(d)=0$，故 $d\in \mathrm {Ker} (j)=\mathrm {Im} (h)$。
6. 于是存在 $c\in C$ 使得 $h(c)=d$。
7. 遂有 $t(n(c))=p(h(c))=t(c')$。因为 $t$ 是同态，有 $t(c'-n(c))=0$。
8. 根据正合性，$c'-n(c)\in \mathrm {Im} (s)$，故存在 $b'\in B'$ 使得 $s(b')=c'-n(c)$。
9. 因为 $m$ 是满射，存在 $b\in B$ 使得 $b'=m(b)$。
10. 根据图的交换性 $n(g(b))=s(m(b))=c'-n(c)$。
11. 因为 $n$ 是同态，$n(g(b)+c)=n(g(b))+n(c)=c'-n(c)+n(c)=c'$。
12. 由此可知 $n$ 是满射。证毕。

为证明 (2)，在下图中假设 $m$ 与 $p$ 是单射，而 $l$ 是满射。

1. 设 $c\in C$ 使得 $n(c)=0$。
2. 于是 $t(n(c))=0$。
3. 根据图的交换性，$p(h(c))=0$
4. 因为 $p$ 是单射，$h(c)=0$。
5. 根据正合性，存在 $b\in B$ 使得 $g(b)=c$。
6. 根据图的交换性，$s(m(b))=n(g(b))=n(c)=0$。
7. 根据正合性，存在 $a'\in A'$ 使得 $r(a')=m(b)$。
8. 因为 $l$ 是满射，存在 $a\in A$ 使得 $l(a)=a'$。
9. 根据图的交换性，$m(f(a))=r(l(a))=m(b)$。
10. 因为 $m$ 是单射，$f(a)=b$。
11. 故 $c=g(f(a))=0$。
12. 由此可知 $n$ 是单射。证毕。

结合两个四引理，便可证得五引理。

应用

五引理通常用于长正合序列：在计算一个对象的同调或上同调群时，我们通常利用一个较简单的子对象，其同调或上同调已知，再配合长正合序列进行计算。长正合序列本身不一定能确定所求的同调或上同调，此时可以试着以态射比较原对象与一个已知的对象，此态射导出长正合序列的链映射，此时五引理有助于决定未知的同调或上同调群。

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