七次方程

七次函数的图，有六个临界点

七次方程是可以用下式表示的方程

$ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\,$

其中 a≠0。

而七次函数是可以用下式表示的函数：

$f(x)=ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h\,$

其中 a≠0。换句话说，七次函数也就是阶数为 7 的多项式，若 a=0，则多项式最多只为是六次函数。

若将令七次函数 $f(x)=0$，即可得到七次方程。

七次方程的系数 a, b, c, d, e, f, g, h 可以是整数、有理数、复数或是任何一种域的元素。

因为七次函数的阶数为奇数，所以它的函数图形类似三次函数及五次函数，不过可能会有更多的局部极大值与局部极小值。事实上，七次函数至多有三个局部极大值与三个局部极小值，因为其导数为六次方程。

七次方程求根

只有少部分的七次方程的根可以由系数的四则运算与根号表示，大部分的七次方程都不行。埃瓦里斯特·伽罗瓦发现了一个方法可以判断一条七次方程能否通过四则运算及开根号等运算求出其根，并且同时创立了伽罗瓦理论。我们可以借由推广亚伯拉罕·棣莫弗五次方程得到一个不可约但可解的七次方程。例如

$x^{7}+7ax^{5}+14a^{2}x^{3}+7a^{3}x+b=0\$

其辅助方程为 $y^{2}+by-a^{7}=0\,$

设 $x=u+v$、 $uv+a=0$，则以上方程化简为 $u^{7}+v^{7}+b=0$。故 $u^{7}$、$v^{7}$ 皆为辅助方程的根。

所以，该七次方程的七个根$x_{k}$为

$x_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{7}]{y_{1}}}+\omega _{k}^{6}{\sqrt[{7}]{y_{2}}}$     $(k=1,2,\dots ,7)$

在此，$\omega _{k}$是 1 的七次单位根，$y_{1},y_{2}$ 是辅助方程中 $y$ 两个根。

这个构造不可约的可解方程式的方法可以被推广到 k 次多项式，k 是正整数。

此外 Kluner 在 Database of Number Fields 给出的另外一个例子是

$x^{7}-2x^{6}+(a+1)x^{5}+(a-1)x^{4}-ax^{3}-(a+5)x^{2}-6x-4=0$

它的判别式是

${d=-4^{4}(4a^{3}+99a^{2}-34a+467)^{3}}$

注意到当 d = −467 时有类数 h(d) = 7。而这类七次方程的伽罗瓦群乃是一个十四阶的二面体群。

有了七阶交错群 $A_{7}$ 以及七阶对称群 $S_{7}$，就可以解所有的七次方程，但是，有些七次方程的根须要超椭圆函数和相关亏格为3的Θ函数。但是因为求解六次方程的根已达到人脑计算能力的上限，所以一直要到十九世纪计算器问世之后数学家才开始着手研究七次方程的代数解。

低于六次的方程求根都很明显的可以通过叠加双变量连续 函数而得，但七次方程的求根就不是直接可以看出来。希尔伯特第十三问题猜测一般的七次方程是不能通过上述方法解出根的，然而，1957年，苏联数学家弗拉基米尔·阿诺尔德证明了一般的七次方程仍然可以使用此手段表达其根。同时，阿诺尔德猜测，七次方程求根可以通过叠加双变量代数 函数而得，这个问题被视为是真正的希尔伯特问题，并且到目前仍然是未解决的问题。

伽罗瓦群

法诺平面

• 每个可以借由将其系数加减乘除及开根号求根七次方程的伽罗瓦群，一定是七阶的循环群、十四阶的二面体群、二十一或四十二阶的亚循环群其中之一。
• 图中包含七条线的法诺平面的七个顶点置换组成的168阶的伽罗瓦群L(3, 2)，求解含有此伽罗瓦群L(3, 2)的七次方程需要使用椭圆函数，而不是超椭圆函数。
• 除了上述特例之外，七次方程的伽罗瓦群不是一个2520阶的交错群，就是一个5040阶的对称群。

五边形与六边形的面积

若有一七次方程，其系数为某个五边形五个边的对称函数，则他的其中一个根是该五边形的面积。此外，六边形也可以得到相同的结论。